5. Элементы дискретной математики
1. Элементы математической логики.
— Самостоятельно изучите материал по источникам (4, 5) и законспектируйте изученный материал.
— Ответьте на вопросы:
1. Что называется высказыванием?
2. Перечислите виды логических операций над высказываниями и сформулируйте их определения.
3. В каком случае
есть
необходимое условие для
?
4. В каком случае есть достаточное условие для ?
5. В каком случае предложения и равносильны?
6. Какая теорема называется обратной данной? Как формулируется предложение, обратное теореме вида «если А, то В»?
7. Что означают следующие логические
символы:
,
,
,
,
,
,
:.
— Решите задачи:
№ 1. Сформулируйте следующие высказывания в виде «если …, то …»:
1) А — достаточное условие для В;
2) А — необходимое условие для В.
№ 2. Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:
1) Число а — натуральное, следовательно, и 15а — натуральное число.
2) Число 15а — натуральное, следовательно, и а — натуральное число.
3) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник.
4) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник — прямоугольник.
5) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.
6) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.
№ 3. Равносильны ли следующие предложения и , если:
1) — «число делится на 9»,
— «сумма цифр в записи числа делится на 9».
2) — «каждое слагаемое суммы делится на 4»,
— «сумма делится на 4».
№ 4. Какие из нижеприведенных высказываний истинные:
1) Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6.
2) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы оно делилось на 6.
3) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10.
4) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5.
№ 5. Вместо многоточия вставьте слова «необходимо» либо «достаточно», либо «необходимо и достаточно», чтобы данные предложения были истинными:
1) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, … , чтобы каждое слагаемое делилось на 2.
2) Для того чтобы каждое слагаемое делилось на 2, … , чтобы сумма этих слагаемых делилась на 2.
3) Для того чтобы число делилось на 45, … , чтобы оно делилось на 5 и на 9.
№ 6. Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем:
1) Если углы смежные, то их сумма равна
.
2) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3) Равенство треугольников есть достаточное условие их равносильности.
4) Четность суммы есть необходимое условие четности каждого слагаемого.
№ 7. Сформулируйте предложения, обратные следующим теоремам. Какие из них являются теоремами?
1) Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
2) Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма — четное число.
№ 8. Прочитайте высказывание, записанное
с помощью логических символов:
№ 9. Необходимым и достаточным условием делимости натурального числа N на 40 является его делимость …
1. на 4 и на 10
2. на 2 и на 20
3. на 2, на 4 и на 5
4. на 5 и на 8.
№ 10. Для высказывания «Все внутренние углы треугольника АВС ― острые» высказывание «Один из внешних углов треугольника АВС ― тупой» является …
1. достаточным (но необходимым) условием
2. не является ни необходимым, ни достаточным
3. необходимым (но не достаточным) условием
4. необходимым и достаточным условием
№ 11. Ложным высказыванием является …
1. Уравнение
не имеет действительных корней.
2. Прямоугольник ― частный случай параллелограмма.
3. Существуют положительные иррациональные числа.
4.
.
№ 12. Ложным высказыванием является …
1. Существуют отрицательные натуральные числа.
2. Уравнение
не имеет действительных корней.
3. Параллелограмм является четырехугольником.
4.
.
№ 13. Условие истинности высказывания
можно записать в виде …
1.
2.
3.
4.
№ 14. Запишите таблицу истинности логического высказывания:
1.
;
2.
.