1.2. Способы образования функций

Самыми простыми среди явно заданных функций являются 16 функций:

1) y = С — постоянная;

2) y = xⁿ — степенная (n  0);

3) y = a^x — показательная (a > 0, a  1);

4) y = log_a x — логарифмическая (a > 0, a  1);

5) y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x — тригонометрические;

6) y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x — обратные тригонометрические функции.

Эти функции называют основными элементарными функциями. Свойства и графики этих важных функций изучают в курсе математики средней школы. Эти сведения желательно повторить. Для этого можно использовать школьные учебники, а также [2, § 14].

Из основных элементарных функций, как из «кирпичиков», образуют множество новых функций. Для этого используют различные способы. Рассмотрим некоторые из них.

1. Образование функций с помощью арифметических операций (+, –, , :), например:

а) y = 3 sin x + 4 tg x – 5 lg³x + arcsin x;

б) P_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + …+ a_n-1x + a_n — многочлен степени n;

в) гиперболические функции:

— гиперболический синус;

— гиперболический косинус;

— гиперболический тангенс;

— гиперболический котангенс.

Заметим, что гиперболические функции получены с помощью арифметических операций из показательной функции а^x при a = e.

2. Образование функций с помощью повторного взятия функции:

y = f((x)). (1)

Такую функцию называют сложной функцией или функцией сложного аргумента. Например, сложными будут функции:

y = sin 3x, y = arctg (lg x), y = lg (x² + 1), (2)

а их аргументами, соответственно, 3x, lg x, x² + 1.

3. Образование функций с помощью нескольких аналитических выражений, например

(3)

Эта функция в области D(y) = [0; 3] задана тремя различными аналитическими выражениями.

При образовании функций могут использоваться и другие, кроме перечисленных выше, операции, например, дифференцирование и интегрирование, а также бесконечное число таких операций. Из множества подобных функций выделяют наиболее простые — те, которые получены из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операций взятия функций от функций и которые записаны одним аналитическим выражением. Такие функции называют элементарными. Например, элементарными будут многочлены, гиперболические функции, функции (1) и (2), а функция (3) не будет элементарной, так как она задана не одним аналитическим выражением.

1.3. Предельные процессы переменной X

При изменении переменной величины x иногда можно выделить характерную особенность в ее поведении: монотонное возрастание или убывание, неограниченное приближение к постоянному числу и т.п. Если переменная величина x (например, время) неограниченно возрастает и при этом остается положительной, то такое поведение величины x символически будем обозначать как x  +. Таким образом, символическая запись x  + будет означать, что x неограниченно возрастает и в процессе изменения станет и останется больше любого сколь угодно большого числа М > 0. Итак, x  + — это один из предельных процессов поведения переменной x. Аналогично понимаются другие предельные процессы:

x  –,

x    | x|  +,

x  a — x неограниченно приближается к числу а,

x  a – 0  — x неограниченно приближается к а слева;

x  a + 0  — x неограниченно приближается к а справа.