ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А № 2.3. КН. 1

Изучение законов равноускоренного вращательного

движения при помощи маятника Обербека

Владивосток

2013

Краткая теория

Основной закон динамики для вращательного движения выглядит как M=Jε, где М ― суммарный момент сил, действующих на тело (или точнее, сумма проекций моментов сил, действующих на систему, на ось вращения), J ― момент инерции тела, ε ― угловое ускорение, с которым вращается тело.

Если некоторая сила F действует на тело на расстоянии r от оси вращения, под некоторым углом α, то так называемый крутящий момент этой силы может быть вычислен через векторное произведение векторов и : . Здесь радиус-вектор силы направлен от оси вращения перпендикулярно в точку касания крутящей силы. Направление вектора крутящего момента можно представить, воспользовавшись правилом буравчика. Как правило, направление момента силы интересует нас весьма нечасто, поэтому для определения модуля момента силы можно просто воспользоваться формулой M=rFsinα. Крутящий момент силы есть причина вращательного движения. Здесь есть важное отличие движения вращательного от движения поступательного. В случае поступательного движения всякая нескомпенсированная сила вызывает движение, а в случае вращательного ― не всякий нескомпенсированный крутящий момент вызывает вращение. Так например, если действовать сколь угодно великой силой точно в направлении оси вращения, или прикладывать эту силу под углом к оси, но точно в ось, никакого вращения не получим ― максимум, что удастся ― это сломать ось!

Момент инерции ― это мера инертности тела при вращательном и колебательном движениях, он показывает насколько легко или трудно раскрутить, например, покоящееся тело или остановить его вращение. В отличие от момента силы, момент инерции ― скалярная величина. Если некоторая точка массой m расположена на расстоянии r от оси вращения, то ее момент инерции будет равен j=mr². Так вычисляется, например, момент инерции атомного ядра в задачах о вращении фрагментов молекулы или молекулы в целом. Но гораздо чаще мы имеем дело с протяженными телами (т.е., не точечными), с определенными размерами и массой. Поэтому мы мысленно разбиваем это тело на бесконечно малые точки массами m_i и находим общий момент инерции всего тела . Как правило, мы имеем дело со сплошными телами, и поэтому суммирование заменяется интегрированием: , где ρ ― плотность тела. Очень часто форма тела весьма сложная и интегрировать по такому объему очень трудно, поэтому прямое интегрирование возможно только для тел некоторых простых форм (тела вращения, правильные пирамиды, призмы и т.д.). Чаще всего момент инерции вычисляется косвенным путем, по характеристикам вращательного движения, как например, в данной работе.

Если проводить аналогии с поступательным движением, то между массой и моментом инерции существует значительное различие. Как масса тела, так и его момент инерции являются количественной мерой инертности тела. Но масса тела всегда одна и только одна (если, конечно, тело не изменяется в процессе движения). Моментов инерции у любого тела можно быть бесконечно много, в зависимости от положения оси вращения относительно него. Отодвигая ось вращения от тела на все более и более далекое расстояние от тела, мы понимаем, что момент инерции тела растет и растет (и так до бесконечности). Но нулю момент инерции равен быть не может, если конечно, тело не является точкой или идеально прямой линией ― всегда найдутся точки, которые будут расположены не на оси вращения. Следовательно, у момента инерции тела имеется минимально возможное значение, строго говоря, таких значений три. Они называются главными моментами инерции, а соответствующие направления осей вращения ― главными осями инерции. Например, если у тела есть ось симметрии ― то это и есть одна из главных осей инерции!

Угловое ускорение тела, собственно и описывает то самое движение, которое возникает у данного тела под действием данного крутящего момента. Угловое ускорение определяется как , здесь φ ― угол, на который поворачивается тело в зависимости от времени. Для простоты примем момент силы постоянным во времени, момент инерции тоже постоянным (так как тело прочно закреплено на оси вращения). Тогда будем иметь ε=const ― равноускоренное движение. Так как тело будем считать абсолютно твердым и жестким (оно никак не деформируется в процессе вращения), то угловые ускорения всех точек такого тела абсолютно одинаковы.

Единицы измерения рассмотренных величин таковы: [M] = Нм, в данном случае так и оставляют, чтобы не путать с джоулем ― размерностью энергии и работы. [J] = кгм², [ε] = . Но как правило, обозначение радиана опускают, считая угол безразмерным и записывают просто: [ε] = .