1.3. Решение транспортной задачи

Алгоритм решения транспортной задачи будет проиллюстрирован на следующем примере.

Пример 1.5

Транспортная компания занимается перевозкой зерна специальными зерновозами от трех элеваторов к четырем мельницам. В табл. 1.11 показаны возможности отгрузки зерна (предложения) элеваторами (в зерновозах) и потребности (спрос) мельниц (также в зерновозах), а также стоимость перевозки зерна одним зерновозом от элеваторов к мельницам. Стоимость перевозок приведена в тысячах гривен.

В данной задаче требуется определить структуру перевозок между элеваторами и мельницами с минимальной стоимостью. Для этого необходимо вычислить объемы перевозок между -м элеватором и -й мельницей.

Таблица 1.11 – Транспортная таблица для примера 1.5

Последовательность этапов алгоритма решения транспортной задачи в точности повторяет аналогичную последовательность этапов симплексного алгоритма.

Шаг 1. Определяется начальное базисное допустимое решение, затем переходим к выполнению второго этапа.

Шаг 2. Среди всех небазисных переменных определяется переменная, вводимая в базис. Если все небазисные переменные удовлетворяют условию оптимальности, вычисления заканчиваются. В противном случае переходим к третьему этапу.

Шаг 3. Среди текущих базисных переменных определяется исключаемая переменная. Затем отыскивается новое базисное решение. Возвращаемся ко второму этапу.

Рассмотрим каждый описанный этап в отдельности.

1.3.1. Определение начального решения

Общая транспортная модель с пунктами отправления и пунктами назначения имеет ограничений в виде равенств, по одному на каждый пункт отправления и назначения. Поскольку транспортная модель всегда сбалансирована (сумма предложений равна сумме спроса), одно из этих равенств должно быть избыточным. Таким образом, транспортная модель имеет независимых ограничений, отсюда следует, что начальное базисное решение состоит из базисных переменных.

Специальная структура транспортной модели для получения начального базисного допустимого решения позволяет применить следующие методы.

1. Метод северо-западного угла.

2. Метод наименьшей стоимости.

3. Метод Фогеля.

Различие этих методов заключается в "качестве" начального решения, т.е. "удаленности" начального решения от оптимального. В общем случае метод Фогеля чаще всего дает наилучшее решение, а метод северо-западного угла — наихудшее. Однако метод северо-западного угла требует меньшего объема вычислений.

Метод северо-западного угла. Выполнение начинается с верхней левой ячейки (северо-западного угла) транспортной таблицы, т.е. с переменной .

Шаг 1. Переменной присваивается максимальное значение, допускаемое ограничениями на спрос и предложение.

Шаг 2. Вычеркивается строка (или столбец) с полностью реализованным предложением (с удовлетворенным спросом). Это означает, что в вычеркнутой строке (столбце) не будут больше присваиваться значения остальным переменным (кроме переменной, определенной на первом этапе). Если одновременно удовлетворяются спрос и предложение, вычеркивается только строка или только столбец.

Шаг 3. Если осталась не вычеркнутой только одна строка или только один столбец, процесс останавливается. В противном случае переходим к ячейке справа от текущей, если на предыдущем шаге вычеркивался столбец, или к ячейке под текущей, если вычеркивалась строка. Затем возвращаемся к первому шагу, на котором рабочей ячейкой вместо будет уже другая ячейка.

Пример 1.6

Применяя описанную процедуру к задаче из примера 1.5, получаем начальное базисное допустимое решение, представленное в табл.1.12. В этой таблице стрелками показана последовательность определения базисных переменных.

Получено следующее начальное базисное решение:

Соответствующая суммарная стоимость перевозок равна

Таблица 1.12 – Метод северо-западного угла

Метод наименьшей стоимости. Данный метод чаще находит лучшее начальное решение, чем метод северо-западного угла, поскольку последовательно выбираются переменные, которым соответствуют наименьшие стоимости. Сначала во всей транспортной таблице отыскивается ячейка с наименьшей стоимостью перевозки. Затем переменной в этой ячейке присваивается наибольшее значение, допускаемое ограничениями на спрос и предложение. (Если таких переменных несколько, выбор произволен.) Далее вычеркивается соответствующий столбец или строка, и корректируются значения спроса и предложения, которые изменились. Если одновременно выполняются ограничения и по спросу, и по предложению, вычеркивается или строка, или столбец (точно так же, как в методе северо-западного угла). Затем уже просматриваются невычеркнутые ячейки, и из них выбирается другая ячейка с минимальной стоимостью. Описанный процесс продолжается до тех пор, пока не останется лишь одна невычеркнутая строка или столбец.

Пример 1.7

Применим метод наименьшей стоимости к задаче из примера 1.5.

1. Ячейка имеет наименьшую в таблице стоимость (2 грн.). Наибольшее значение, которое можно присвоить переменной , равно 15. В этом случае удовлетворяются ограничения, соответствующие первой строке и второму столбцу. Вычеркиваем второй столбец, предложение первой строки и спрос второго столбца принимают нулевые значения.

2. Следующей ячейкой с наименьшей стоимостью среди невычеркнутых будет ячейка . Присвоим переменной значение 5 и вычеркнем первый столбец. Ограничение по предложению, соответствующее третьей строке, станет равным 10 - 5 = 5.

3. Продолжая процедуру, последовательно присваиваем переменной значение 15, переменной — значение 0; далее находим и .

Процесс поиска начального решения представлен в табл. 1.13. Стрелками показана последовательность присвоения переменным значений.

Таблица 1.13

Итак, было получено начальное базисное решение (состоящее из 6 переменных) методом наименьшей стоимости:

Соответствующее значение целевой функции равно

Отсюда следует, что полученное методом наименьшей стоимости начальное базисное решение лучше, чем решение, полученное методом северо-западного угла.

Метод Фогеля. Данный метод является вариацией метода наименьшей стоимости и в общем случае чаще находит лучшее начальное базисное решение. Алгоритм этого метода состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Для каждой строки и столбца, которым соответствует строго положительное предложение (спрос), вычисляется штраф путем вычитания наименьшей стоимости из следующей по величине стоимости в данной строке или столбце.

Шаг 2. Определяется строка или столбец с наибольшим полученным штрафом. Если таковых несколько, выбор произволен. Из выделенной строки или столбца выбирается переменная, которой соответствует минимальная стоимость перевозки. Этой переменной присваивается наибольшее возможное значение, позволяемое ограничениями на спрос и предложение. Затем в соответствии с присвоенным значением переменной корректируются величины оставшегося неудовлетворенным спроса или нереализованного предложения. Строка или столбец, соответствующие выполненному ограничению, вычеркиваются из таблицы. Если одновременно выполняются ограничения и по спросу, и по предложению, вычеркивается только строка или только столбец, причем оставшейся невычеркнутой строке (столбцу) приписывается нулевое предложение (спрос).

Шаг 3.

а) Если не вычеркнута только одна строка или только один столбец с нулевым спросом или предложением, вычисления заканчиваются.

б) Если не вычеркнута только одна строка (столбец) с положительным предложением (спросом), в этой строке (столбце) методом наименьшей стоимости находятся базисные переменные, и вычисления заканчиваются.

в) Если всем невычеркнутым строкам и столбцам соответствуют нулевые объемы предложения и спроса, методом наименьшей стоимости находятся нулевые базисные переменные, и вычисления заканчиваются.

г) Во всех остальных случаях необходимо перейти к п. 1.

Пример 1.8

Применим метод Фогеля к задаче из примера 1.5.

В табл. 1.14 показан первый набор вычисленных штрафов. Поскольку третья строка имеет наибольший штраф (10) и в этой строке наименьшая стоимость содержится в ячейке , присваиваем переменной значение 5. В результате полностью выполнилось ограничение первого столбца, следовательно, его вычеркиваем. Новый набор пересчитанных штрафов показан в табл. 1.15.

Таблица 1.14 – Первый набор вычисленных штрафов

Таблица 1.15 – Новый набор пересчитанных штрафов

Теперь первая строка имеет наибольший штраф – 9. Работая с первой строкой, определяем, что минимальная стоимость перевозок соответствует ячейке . Поэтому присваиваем значение 15. В этом случае одновременно выполняются ограничения и для первой строки, и для второго столбца. Принимаем решение вычеркнуть второй столбец, положив объем предложений, соответствующий первой строке, равным нулю.

Продолжая этот процесс, находим, что на следующем шаге вторая строка будет иметь наибольший штраф (20 -9 = 11). Поэтому переменной присваиваем значение 15. В результате будет вычеркнут третий столбец, во второй строке останется нереализованным предложение объемом в 10 единиц. Остается невычеркнутым только четвертый столбец с положительным неудовлетворенным спросом объемом в 15 единиц. Применяя метод наименьшей стоимости к этому столбцу, последовательно получаем , и . Соответствующее значение целевой функции равно

В данном случае полученное значение целевой функции такое же, как и в методе наименьшей стоимости. Но обычно метод Фогеля дает наилучшее начальное решение для транспортной задачи среди трех рассмотренных методов.