4.4. Многоэтапные модели

В этом разделе рассматривается многоэтапная модель без учета стоимости размещения заказа. Кроме того, в модели предусматривается возможность задолженности и нулевое время поставки. Предполагается также, что спрос в каждый период описывается стационарной (независящей от времени) плотностью вероятности .

В многоэтапной модели учитывается приведенная стоимость денег. Если — коэффициент дисконтирования (процент скидки) для одного этапа, то сумма спустя этапов будет эквивалентна сумме в настоящий момент.

Предположим, что планирование охватывает этапов, и неудовлетворенный спрос может оставаться таковым лишь на протяжении одного этапа. Пусть — максимальная суммарная ожидаемая прибыль для этапов от до , определенная при условии, что — уровень имеющегося запаса перед размещением заказа на -м этапе.

Используя обозначения из раздела 4.2 и предполагая, что — удельный доход от реализации единицы продукции, сформулируем задачу управления запасами в виде следующей задачи динамического программирования.

, ,

где . Величина может принимать отрицательные значения, так как неудовлетворенный спрос может накапливаться. Величина включена во второй интеграл, поскольку , представляет собой неудовлетворенный спрос на -м этапе, который должен быть удовлетворен на этапе .

Задачу можно решить рекуррентно методами динамического программирования. Если число этапов является бесконечным, приведенное выше рекуррентное уравнение сводится к следующему.

,

где и представляют собой уровни запаса на каждом этапе до и после получения заказа соответственно.

Оптимальное значение можно определить из приведенного ниже необходимого условия, которое в данном случае есть также достаточным, так как функция ожидаемой прибыли является вогнутой.

.

Величина определяется следующим образом. Если на начало следующего этапа уровень запаса еще составляет единиц, то прибыль на этом этапе возрастает на величину , так как объем последующего заказа уменьшается именно на эту величину. Это означает, что

.

Следовательно, необходимое условие принимает вид

.

Поэтому оптимальный уровень заказа определяется из уравнения

.

Оптимальная стратегия каждого этапа при заданном исходном запасе выражается следующим правилом.

Если , делать заказ объемом ,

если , заказа не делать.

5. Складская логистика

5.1. Определение месторасположения склада

При выборе месторасположения склада наибольшее внимание уделяется транспортным расходам, связанным с доставкой грузов на склад и со склада потребителям. Чем ниже эти совокупные затраты, тем выше прибыль фирмы, а следовательно, эффективнее вариант выбора. Затраты, связанные со строительством и дальнейшей эксплуатацией складского сооружения, в данном случае не учитываются.

Условно считается, что они больше зависят от особенностей конструкции склада и его технической оснащенности, чем от месторасположения. Для этого используется метод наложения сетки координат на карту потенциальных мест расположения складов. Система сетки дает возможность оценить стоимость доставки от каждого поставщика до предполагаемого склада и от склада до конечного потребителя, а выбор останавливается на варианте, который определяется как центр массы, или центр равновесной системы транспортных затрат:

,

где

— центр массы, или центр равновесной системы транспортных затрат, т*км;

— расстояние от начала осей координат до точки, обозначающей месторасположение поставщика, км;

— расстояние от начала осей координат до точки, обозначающей месторасположение клиента, км;

— транспортный тариф для клиента на перевозку груза, грн./т*км;

— транспортный тариф для поставщика на перевозку груза, грн./т*км;

— вес (объем) груза, реализуемый -м клиентом, т;

— вес (объем) груза, закупаемый у -го поставщика, т.

Пример 5.1

Фирма, занимаясь реализацией продукции на рынках сбыта , , имеет постоянных поставщиков , , , , в различных регионах. Увеличение объема продаж заставляет фирму поднять вопрос о строительстве нового распределительного склада, обеспечивающего продвижение товара на новые рынки и бесперебойное снабжение своих клиентов.

Исходные данные. Для простоты расчетов предположим, что тариф ( ) для поставщиков на перевозку продукции на склад составляет 1 грн./т*км, а тарифы для клиентов на перевозку продукции со склада равны: для грн./т*км, грн./т*км, грн./т*км. Поставщики осуществляют среднюю партию поставки соответственно в размерах: т, т, т, , т. Партия поставки при реализации клиентам соответственно равна: , , .

На географическую карту, где обозначены имеющиеся у фирмы поставщики и регионы сбыта, наносится сетка с осью координат. Определим координаты клиентов ( ) и поставщиков ( ) (табл. 5.1 и рис. 5.1). Рассчитаем следующие параметры.

1. Суммарные затраты на транспортировку перевозимой партии грузов от поставщиков с учетом расстояний по оси :

;

по оси :

.

Таблица 5.1 – Координаты клиентов и поставщиков

Координаты	Клиенты			Поставщики
	0	300	550	150	275	400	500	600
	575	500	600	125	300	275	100	550

Рисунок 5.1 – Нанесенные точки клиентов и поставщиков

2. Суммарные затраты на транспортировку перевозимой партии грузов клиентам с учетом расстояний по оси :

;

по оси :

.

3. Координаты оптимального места расположения по оси :

по оси :

.

Оптимальное месторасположение склада имеет следующие координаты: 315 км по оси и 257 км по оси .

Пример 5.2

Используя исходные данные предыдущей задачи, определить, как изменится выбор оптимального месторасположения распределительного склада, если изменится тариф на перевозку для поставщиков и до .

При решении проблемы оптимального месторасположения склада, снабжающего мелких потребителей и розничную сеть города, из общей формулы 1) можно исключить транспортный тариф на перевозку, поскольку внутри города он будет одинаков. Тогда формула центра массы примет следующий вид:

.