4. Вероятностные модели управления запасами

В главе 3 изложены основы теории управления запасами в условиях неопределенности. В этой главе рассматриваются вероятностные модели управления запасами, в которых значение спроса является случайной величиной с известным распределением вероятностей. Рассмотренные модели подразделяются на модели с непрерывным и на модели с периодическим контролем уровня запаса. При этом класс моделей с периодическим контролем включает как одноэтапные, так и многоэтапные модели.

4.1. Модель с непрерывным контролем уровня запаса

В разделе рассмотрены две модели управления запасами.

1) Представляет собой обобщение детерминированной модели экономичного размера заказа на вероятностный случай, в котором используется буферный запас, отвечающий за случайный спрос.

2) Представляет собой более точную вероятностную модель экономичного размера заказа, которая учитывает вероятностный характер спроса непосредственно в постановке задачи.

В работах по управлению запасами предлагались методы адаптации детерминированной модели экономичного размера заказа для учета вероятностной природы спроса, используя при этом приближенный метод, который предполагает существование постоянного буферного запаса на протяжении всего планового периода. Размер резерва устанавливается таким образом, чтобы вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа (интервала между моментом размещения заказа и его поставкой) не превышала наперед заданной величины.

Введем следующие обозначения.

— срок выполнения заказа, т.е. время от момента размещения заказа до его поставки,

— случайная величина, представляющая величину спроса на протяжении срока выполнения заказа,

— средняя величина спроса на протяжении срока выполнения заказа,

— среднеквадратическое отклонение величины спроса на протяжении срока выполнения заказа,

— размер резервного запаса,

— максимально возможное значение вероятности истощения запаса на протяжении срока выполнения заказа.

Основным предположением при построении модели является то, что величина спроса на протяжении срока выполнения заказа является нормально распределенной случайной величиной со средним и стандартным отклонением , т.е. имеет распределение .

На рис. 4.1 показана зависимость между размером резервного запаса и параметрами детерминированной модели экономичного размера заказа, которая включает срок выполнения заказа , среднюю величину спроса на протяжении срока выполнения заказа и экономичный размер заказа . Заметим, что должно быть равно эффективному времени выполнения заказа, как это определено в классической задаче экономичного размера заказа.

Рисунок 4.1 – Резервный запас в детерминированной модели экономичного размера заказа

Вероятностное условие, которое определяет размер резервного запаса , имеет вид

.

По определению случайная величина

является стандартной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение . Следовательно,

.

На рис. 4.2 показана величина , которая определяется из таблицы стандартного нормального распределения, так что

,

Следовательно, размер резервного запаса должен удовлетворять неравенству

.

Рисунок 4.2 – Определение вероятности

Величина спроса на протяжении срока выполнения заказа обычно описывается плотностью распределения вероятностей, отнесенной к единице времени (например, к дню или неделе), из которой можно найти распределение спроса на протяжении периода . В частности, если спрос за единицу времени является нормально распределенной случайной величиной со средним и стандартным отклонением , то общий спрос на протяжении срока выполнения заказа будет иметь распределение , где и . Формула для получена на основании того, что значение является целым числом (или же округлено до целого числа).

Пример 4.1

В примере 3.1, где речь шла об управлении запасом ламп в университете, был определен экономичный размер заказа в 1000 ламп. Требуется определить размер резервного запаса таким образом, чтобы вероятность истощения запаса не превышала при условии, что дневной спрос является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием ламп и среднеквадратическим отклонением ламп, т.е. имеет распределение .

Эффективное время выполнения заказа равно 2 дня. Следовательно,

единиц,

единиц.

Из таблицы стандартного нормального распределения определяем . Следовательно, размер резервного запаса вычисляется следующим образом.

лампы.

При экономичном размере заказа единиц оптимальная политика управления запасами с объемом резерва состоит в заказе 1000 ламп, как только объем запаса уменьшается до 223 единиц .