1. Транспортные модели

Транспортные модели (задачи) — специальный класс задач линейного программирования, которые описывают перевозку какого либо товара из пунктов отправления в конечные пункты. Назначение транспортной задачи — определить такие объемы перевозок из пунктов отправления в пункты назначения, которые бы минимизировали суммарную стоимость перевозок. При этом должны учитываться ограничения, налагаемые на количество товара, имеющегося в пунктах отправления (предложение), и ограничения, учитывающие мощность пунктов потребления (спрос). В транспортной модели предполагается, что стоимость перевозки по какому-либо маршруту прямо пропорциональна объему груза, перевозимого по этому маршруту. В общем случае транспортную модель можно применять для описания ситуаций, связанных с управлением запасами, управлением движением капиталов, составлением расписаний, назначением персонала и др.

1.1. Определение транспортной модели

На рис.1.1 показано общее представление транспортной задачи [1] в виде сети с пунктами отправления и пунктами назначения, которые показаны в виде узлов сети. Дуги, соединяющие узлы сети, соответствуют маршрутам, связывающим пункты отправления и назначения. С дугой , соединяющей пункт отправления с пунктом назначения , соотносятся два вида данных: стоимость перевозки единицы груза из пункта в пункт и количество перевозимого груза . Объем грузов в пункте отправления равен , а объем грузов в пункте назначения — . Задача состоит в определении неизвестных величин , минимизирующих суммарные транспортные расходы и удовлетворяющих ограничениям, налагаемым на объемы грузов в пунктах отправления и пунктах назначения.

Рисунок 1.1 – Представление транспортной задачи

Пример 1.1

Автомобильная компания имеет три завода в Харькове, Запорожье и Киеве и два торговых центра в Одессе и Донецке. Объемы производства заводов компании в следующем квартале составят соответственно 1000, 1500 и 1200 автомобилей. Ежеквартальная потребность торговых центров составляет 2300 и 1400 автомобилей. Расстояния (в км.) между заводами и торговыми центрами приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1 – Расстояния между заводами и торговыми центрами

	Одесса	Донецк
Харьков	1000	2690
Запорожье	1250	1350
Киев	1275	850

Транспортная компания оценивает свои услуги в 0.8 грн. за перевозку одного автомобиля на расстояние в один километр. В результате получаем следующую стоимость перевозок по каждому маршруту.

Таблица 1.2 – Стоимости перевозок

	Одесса (1)	Донецк (2)
Харьков (1)	800	2152
Запорожье (2)	1000	1080
Киев (3)	1020	680

Основываясь на данных из табл.1.2, формулируем следующую задачу линейного программирования.

Минимизировать

при ограничениях

Эти ограничения выражены в виде равенств, поскольку общий объем произведенных автомобилей (1000+1500+1200=3700) равен суммарному спросу распределительных центров (2300+1400=3700). Построим транспортную таблицу для этой задачи (табл. 1.3).

Таблица 1.3 – Транспортная таблица

Оптимальное решение для данной задачи показано на рис. 1.2. Оно предполагает перевозку 1000 автомобилей из Харькова в Одессу, 1300 автомобилей— из Запорожья в Одессу, 200 автомобилей — из Запорожья в Донецк и 1200 — из Киева в Донецк. Минимальная стоимость перевозок составляет 3 132 000 грн.

Рисунок 1.2 – Схема оптимальных перевозок

Когда суммарный объем грузов имеющихся в пунктах отправления не равен общему объему спроса на товары, запрашиваемые пунктами назначения, транспортная модель называется несбалансированной. Далее последовательно будет применяться прием, позволяющий любую несбалансированную транспортную задачу привести сбалансированному виду. Для этого вводятся фиктивные пункты назначения или отправления. Выполнение баланса транспортной задачи необходимо для того, чтобы иметь возможность применить алгоритм решения, построенный на использовании транспортных таблиц.

Пример 1.2

В рамках модели автомобильной компании предположим, что завод в Запорожье уменьшил выпуск продукции до 1300 автомобилей. В этом случае общее количество произведенных автомобилей (3500) становится меньше общего числа заказанных (3700). Таким образом, очевидно, что часть заказов торговых центров Одессы и Донецка не будет выполнена.

Поскольку в данной ситуации спрос превышает предложение, для восстановления баланса вводится фиктивный завод (пункт отправления), производящий 200 (3700-3500) автомобилей. Назначается нулевая стоимость транспортных перевозок от фиктивного завода до пунктов назначения, поскольку такого завода не существует. В принципе, стоимость транспортных перевозок от фиктивного пункта назначения может иметь любое положительное значение. Например, чтобы гарантировать выполнение всех заказов торгового центра Донецка, можно назначить очень высокую стоимость перевозок (штраф) от фиктивного завода до Одессы.

В табл.1.4 представлена сбалансированная модель и ее оптимальное решение. Решение показывает, что фиктивный завод поставит в Донецк 200 автомобилей. Это означает, что для данного торгового центра из заказа на 1400 автомобилей не будет поставлено 200 автомобилей.

Таблица 1.4 – Сбалансированная модель

Предположив теперь, что заказ торгового центра Одессы составляет всего 1900 автомобилей, получим другую ситуацию, когда предложение превышает спрос. В этой ситуации необходимо ввести фиктивный пункт назначения, "поглощающий" избыточное предложение. Здесь также можно назначить нулевую стоимость перевозок в фиктивный пункт назначения, если не требуется выполнения каких-то особых условий. Например, если необходимо вывести всю продукцию какого-либо завода, следует назначить очень высокую стоимость перевозок от этого завода до фиктивного пункта назначения. В табл.1.5 показана новая модель и ее оптимальное решение. Решение показывает, что 400 автомобилей завода в Запорожье не востребованы.

Таблица 1.5 – Пример транспортной модели