3.3.2. Модель с затратами на оформление заказа

В рассматриваемой модели предполагается, что дефицит не допускается и затраты на оформление заказа учитываются всякий раз, когда начинается производство новой партии продукции. Здесь будут рассмотрены два метода решения этой задачи: точный метод динамического программирования и эвристический.

Данная задача управления запасами схематически представлена на рис.3.9. На этом рисунке использованы обозначения следующих величин, определенных для каждого этапа .

— количество заказанной продукции (объем заказа),

— потребность в продукции (спрос),

— объем запаса на начало этапа .

Рисунок 3.9 – Схема управления запасами с затратами на оформление заказа

Стоимостные элементы в рассматриваемой задаче определяются таким образом:

— затраты на оформление заказа,

— затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа в этап . Соответствующая функция производственных затрат для этапа задается формулой

где — функция предельных производственных затрат при заданном значении .

Алгоритм динамического программирования с общей функцией стоимости. Поскольку дефицит не допускается, задача управления запасами сводится к вычислению значений , минимизирующих суммарные затраты, связанные с размещением заказов, закупкой и хранением продукции на протяжении этапов. Затраты на хранение на -м этапе для простоты предполагаются пропорциональными величине

,

которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа в этап .

Для рекуррентного уравнения процедуры прямой прогонки состояние на этапе (периоде) определяется как объем запаса на конец этапа, где, как следует из рис. 3.9,

.

Это неравенство означает, что в предельном случае запас может удовлетворить спрос на всех последующих этапах.

Пусть — минимальные общие затраты на этапах при заданной величине запаса на конец этапа . Тогда рекуррентное уравнение алгоритма прямой прогонки будет записано следующим образом.

,

.

Пример 3.4

Требуется найти оптимальную стратегию в трехэтапной системе управления запасами, которая формулируется ниже. Начальный запас равен единице продукции. Предполагается, что предельные затраты на приобретение продукции составляют 10 грн. за каждую единицу для первых трех единиц и 20 грн. — за каждую дополнительную единицу.

Таблица 3.5 – Данные для примера 3.4

Период,	Спрос, (единицы)	Затраты на оформление заказа, (грн.)	Затраты на хранение, (грн.)
1	3	3	1
2	2	7	3
3	4	6	2

Функция производственных затрат для периода равна для , где

Таблица 3.6 – Этап 1. ,

									Оптимальное решение
			3	4	5	6	7	8
			33	53	73	93	113	133
0	0	23							23	2
1	1		34						34	3
2	2			55					55	4
3	3				76				76	5
4	4					97			97	6
5	5						118		118	7
6	6							139	139	8

Так как , минимальное значение равно .

Таблица 3.7 – Этап 2. ,

									Оптимальное решение
			1	2	3	4	5	6
			17	27	37	57	77	97
0	0	0+55= 55	17+34= 51	27+23= 50					50	2
1	3	3+76= 79	20+55= 75	30+34= 64	40+23= 63				63	3
2	6	6+97= 103	23+76= 99	33+55= 88	43+34= 77	63+23= 86			77	3
3	9	9+118= 127	26+97= 123	36+76= 112	46+55= 101	66+34= 100	86+23= 109		100	4
4	12	12+139= 151	29+118= 147	39+97= 136	49+76= 125	69+55= 124	89+34= 123	109+23= 132	123	5

Таблица 3.8 – Этап 3. ,

							Оптимальное решение
			1	2	3	4
			16	26	36	56
0	0	0+123=123	16+100=116	26+77=103	36+63=99	56+50=106	99	3

Оптимальное решение определяется следующим образом:

.

Отсюда получаем решение: , и , при этом общие затраты составляют 99 грн.

Алгоритм динамического программирования для задачи с постоянными или невозрастающими предельными затратами. Рассмотренную выше модель динамического программирования можно использовать при любых функциях затрат. Важным частным случаем этой модели является такая модель, в которой на этапе как стоимость закупки единицы продукции, так и затраты на ее хранение — невозрастающие (вогнутые) функции объема закупаемой и хранимой продукции соответственно. Такая же ситуация возникает, когда функция стоимости, отнесенная к единице продукции, является постоянной или когда предоставляется оптовая скидка.

При указанных выше условиях можно доказать следующее.

1. При заданном начальном нулевом уровне запаса для любого этапа оптимальной стратегией является удовлетворение спроса за счет либо новой закупленной продукции, либо запаса, но не обоих источников, т.е. . (При положительном начальном уровне запаса этот объем может быть списан из спроса последующих этапов, пока он не исчерпается.)

2. Оптимальный объем заказа , на любом этапе должен либо равняться нулю, либо в точности соответствовать спросу одного или более последующих этапов.

Использование указанных двух свойств с рекуррентным уравнением для алгоритма прямой прогонки динамического программирования позволяет упростить схему вычислений.

Пример 3.5

Рассмотрим четырехэтапную модель управления запасами при следующих исходных данных.

Таблица 3.9 – Данные для примера 3.5

Период,	Спрос, (единицы)	Затраты на оформление заказа, (долл.)
1	76	98
2	26	114
3	90	185
4	67	70

Начальный уровень запаса равен единиц. Затраты на закупку единицы продукции и ее хранение в течение одного периода для всех этапов одинаковы и составляют 2 и 1 грн. соответственно.

Решение определяется обычным алгоритмом прямой прогонки, за исключением того, что величины запаса и допускают общие платежи, как это следует из свойств функции затрат. Так как начальный запас , спрос на первом этапе уменьшается на эту величину и составляет 76 - 15 = 61 единицу.

Таблица 3.10 – Этап 1.

						Оптимальное решение
			87	177	244
			272	452	586
0	0	220				220	61
26	26		298			298	87
116	116			568		568	177
183	183				769	769	244
Заказ на этапе 1 для этапов		1	1, 2	1,2,3	1,2,3,4

Таблица 3.11 – Этап 2.

						Оптимальное решение
			26	116	183
			166	346	480
0	0	0+298=298	166+220=368			220	61
90	90	90+568=685		436+220=66		298	87
157	157	157+769=926			637+220=857	568	177
Заказ на этапе 2 для этапов		-	2	2,3	2,3,4

Таблица 3.12 – Этап 3.

					Оптимальное решение
			90	157
			365	499
0	0	0+656=656	365+298=663		656	0
67	67	67+857=924		566+298=864	864	157
Заказ на этапе 3 для этапов		-	3	3,4

Таблица 3.13 – Этап 4.

				Оптимальное решение
			67
			204
0	0	0+864=864	204+656=860	860	67
Заказ на этапе 4 для этапов		-	4

Оптимальная стратегия на основе приведенных таблиц определяется следующим образом.

.

Отсюда получаем решение: , , и при суммарных затратах 860 грн.

Эвристический подход Сильвера-Мила. Данный подход применим к решению только тех задач управления запасами, в которых затраты на закупку единицы продукции постоянны и одинаковы для всех этапов. Поэтому эвристический подход стремится сбалансировать лишь стоимости размещения заказа и затраты на хранение.

Эвристический метод определяет последующие этапы, потребности которых можно удовлетворить за счет размещения заказа на протяжении текущего периода. Задача планирования заключается в минимизации затрат, которые связаны с размещением заказа и хранением продукции и отнесены к одному периоду.

Предположим, на этапе размещается заказ для периодов . Пусть — соответствующая стоимость размещения заказов и хранения продукции для этих же этапов. С использованием обозначений, принятых для моделей динамического программирования, математически это можно выразить следующим образом.

Обозначим далее через соответствующие затраты за период, т.е.

.

Таким образом, для заданного текущего этапа эвристический метод определяет , которое минимизирует функцию .

Функция определяется с помощью рекуррентных соотношений.

,

, , .

Алгоритм эвристического метода состоит из следующих шагов.

Шаг 0. Пусть .

Шаг 1. Определяем локальный минимум функции , который должен удовлетворять неравенствам

,

.

Тогда в соответствии с эвристическим подходом на этапе размещается заказ объемом для этапов .

Шаг 2. Пусть . Если , вычисления заканчиваются; рассмотрен весь плановый период. Иначе следует перейти к шагу 1.

Пример 3.6

Найдем оптимальную стратегию управления запасами в следующей 6-этапной задаче. Стоимость единицы продукции равна 2 грн. для любого периода.

Таблица 3.14 – Данные для примера 3.6

Этап,	(единицы)	(грн.)	(грн.)
1	10	20	1
2	15	17	1
3	7	10	1
4	20	18	3
5	13	5	1
6	25	50	1

Таблица 3.15 – Итерация 1. ( , грн.)

Этап,
1	10	20	20/1=20
2	15	20+1*15=35	35/2=17.5
3	7	35+(1+1)*7=49	49/3=16.33
4	20	49+(1+1+1)*20=109	109/4=27.25

Функция определяется рекуррентно по . Например, при заданном значении грн.,

грн.

Локальный минимум достигается при , что означает необходимость размещения на первом этапе заказа объемом 10 + 15 + 7 = 32 единицы для этапов 1, 2, 3. Полагаем .

Таблица 3.16 – Итерация 2. ( , грн.)

Этап,
4	10	18	18/1=18
5	13	18+3*13=57	52/2=28.5

Значение означает, что на четвертом этапе необходимо разместить заказ объемом 20 единиц для этапа 4. Полагаем .

Таблица 3.17 – Итерация 3. ( , грн.)

Этап,
5	13	5	5/1=5
6	25	5+1*25=30	30/2=15

Так как , на пятом этапе заказывается 13 единиц для этапа 5. Полагаем далее . Так как , то это последний этап планирования, необходимо заказать на шестом этапе 25 единиц для этого же этапа.

В таблице 3.18 сравниваются решения, полученные эвристическим методом и точным методом динамического программирования. Было исключено из части таблицы, содержащей результаты динамического программирования, стоимость закупки единицы продукции, так как этот параметр в вычислениях с помощью эвристического метода не учитывается.

Стоимость производственного плана, предложенного эвристическим методом, примерно на 32 % превышает стоимость аналогичного плана, полученного методами динамического программирования (122 грн. против 90). Неадекватность результата эвристического метода может быть обусловлена данными, которые использовались в задаче. В частности, причиной этого может быть чрезвычайная неравномерность стоимостей размещения заказов для этапов 5 и 6. Тем не менее, этот пример показывает, что эвристический метод не обладает способностью учитывать будущие результаты в поисках лучшего производственного плана. Например, размещение на пятом этапе заказов для этапов 5 и 6 (вместо размещения их в отдельности) может сэкономить 25 грн., что уменьшит суммарные затраты производственного плана, предложенного эвристическим методом, до 97 грн.

Таблица 3.18 – Сравнение решений, полученных разными методами

	Эвристический метод		Метод динамического программирования
Этап	Закуплено единиц	Стоимость (грн.)	Закуплено единиц	Стоимость (грн.)
1	32	49	10	20
2	0	0	22	24
3	0	0	0	0
4	20	18	20	18
5	13	5	38	30
6	25	50	0	0
Всего	90	122	90	92