3.3.1. Модель при отсутствии затрат на оформление заказа
В этой модели рассматривается задача календарного планирования производства, рассчитанная на равных периодов. Возможные объемы производства в каждый из периодов ограничены, однако они могут включать несколько уровней (например, два возможных объема производства могут определяться обычным режимом работы и сверхурочными работами соответственно). На протяжении текущего периода могут производиться изделия для последующих периодов, но в этом случае должны учитываться затраты на их хранение.
Основные предположения модели состоят в следующем.
1. Отсутствие затрат на оформление заказа в любой период планирования.
2. Отсутствие (недопустимость) дефицита.
3. Стоимость производства единицы продукции в любой период либо является постоянной, либо имеет возрастающие предельные затраты (т.е. соответствующая функция затрат является выпуклой).
4. Стоимость хранения единицы продукции в каждый период является постоянной величиной.
Предположение об
отсутствии дефицита означает, что спрос
на продукцию на протяжении текущего
периода не может быть удовлетворен за
счет ее производства в последующие
периоды. Это предположение, по крайней
мере, требует, чтобы суммарные возможности
производства за периоды
были равны суммарному спросу на продукцию
за это же время.
На рис. 3.8 показано, когда производственные затраты на единицу продукции возрастают с увеличением уровня производства. Например, при двух возможных объемах производства, которые определяются обычным режимом работы и сверхурочными работами, стоимость производства единицы продукции, производимой в сверхурочное время, выше, чем при обычном режиме работы.
Рисунок 3.8 – Выпуклая функция затрат
Рассматриваемую
задачу
-этапного
планирования можно сформулировать в
виде транспортной задачи (см. главу 1) с
пунктами производства и
потребителями, где
—
количество возможных уровней производства
на протяжении периода (например, если
на протяжении каждого периода используется
регулярный и сверхурочный режимы работы,
то
).
Производственные возможности каждого
из
пунктов производства определяют объемы
поставок. Объемы потребления определяются
объемом спроса для каждого периода.
Себестоимость перевозки от пункта
производства до пункта назначения
определяется суммой затрат используемого
производственного процесса и стоимости
хранения единицы продукции. Оптимальное
решение такой транспортной задачи
определит объемы производства продукции
для каждого производственного уровня,
которые минимизируют суммарные затраты
на производство и хранение.
Эту задачу можно решить без использования метода решения транспортных задач, представленного в главе 1. Обоснованность нового метода решения, показанного далее, следует из упомянутых предположений об отсутствии дефицита и выпуклости функции затрат на производство.
Пример 3.3
Компания производит искусственные поленья, которые используются в домашних каминах в период с декабря по март. В начале отопительного сезона спрос на эту продукцию низкий, в середине сезона он достигает своего пика и уменьшается к концу сезона. Учитывая популярность продукции, компания может использовать сверхурочные работы для удовлетворения спроса на свою продукцию. Следующая таблица содержит данные о производственных мощностях компании и объемах спроса на протяжении четырех месяцев.
Таблица 3.1 – Данные для примера 3.3
Месяц |
Возможности производства |
Спрос (единицы) |
|
Обычный режим работы (единицы) |
Сверхурочные (единицы) |
||
1 |
90 |
50 |
100 |
2 |
100 |
60 |
190 |
3 |
120 |
80 |
210 |
4 |
110 |
70 |
160 |
Стоимость производства единицы продукции равна 6 грн. в условиях обычного режима работы и 9 грн. при сверхурочных работах. Стоимость хранения единицы продукции на протяжении месяца равна 0.10 грн.
Чтобы гарантировать допустимое решение при отсутствии дефицита, требуется, чтобы суммарное предложение продукции (возможности производства) к началу каждого месяца, по меньшей мере, равнялось суммарному спросу. Об этом свидетельствует таблица 3.2.
Таблица 3.2 – Суммарное предложение и суммарный спрос
Месяц |
Суммарное предложение |
Суммарный спрос |
1 |
90+50=140 |
100 |
2 |
140+100+60=300 |
100+190=290 |
3 |
300+120+80=500 |
290+210=500 |
4 |
500+110+70=680 |
500+160=660 |
В табл. 3.3 содержатся
данные, относящиеся к рассматриваемой
задаче, и ее решение. Здесь
и
соответствуют уровням производства в
обычном и сверхурочном режиме работы
на протяжении периода
,
.
Так как суммарное предложение в четвертом
периоде превышает суммарный спрос, то
введен искусственный пункт потребления
(избыток), чтобы сбалансировать модель
(это показано в табл. 3.3). Все транспортные
маршруты из предыдущего в текущий период
заблокированы, так как дефицит отсутствует.
Таблица 3.3 – Решение примера 3.3
Себестоимости
перевозок продукции вычисляются в виде
суммы затрат на производство и хранение.
Например, соответствующая себестоимость
от
,
до первого периода равна лишь стоимости
изготовления в 6 грн., себестоимость от
до четвертого периода — стоимости
изготовления плюс стоимость хранения
от первого периода до четвертого, т.е.
Наконец, себестоимость перевозки до
искусственного пункта потребления
(избыток) равна нулю.
Оптимальное решение получается в один проход, начиная с первого столбца в направлении к столбцу "Избыток". Для каждого перспективного столбца спрос удовлетворяется с использованием самого дешевого маршрута.
Начиная с первого
столбца маршрут
имеет самую низкую себестоимость
перевозки, поэтому назначается перевозка
максимально возможного объема, а именно
единиц, что оставляет 10 единиц
неудовлетворенного спроса в первом
столбце. Далее переходим к следующему
по себестоимости маршруту
первого столбца и определяем перевозку
единиц, что теперь полностью удовлетворяет
спрос для первого периода.
После удовлетворения
спроса для первого периода переходим
ко второму столбцу. Определение перевозок
в этом столбце происходит следующим
образом: 100 единиц по маршруту
,
60 единиц по маршруту
и 30 единиц по маршруту
.
Этим маршрутам соответствуют себестоимости
перевозок в 6.9 и 9.10 грн. При этом маршрут
,
транспортные расходы на единицу продукции
для которого равны 6.10 грн., не
рассматривается, так как весь запас
был израсходован для первого периода.
Продолжая аналогичным образом, удовлетворяется спрос для третьего, а затем и четвертого столбцов. Оптимальное решение, выделенное жирным шрифтом в табл. 3.3, которое интерпретируется в виде, представленном в таблице 3.4.
Таблица 3.4 – Интерпретация оптимального решения
Период |
Производство |
Период 1 (обычный режим работы) |
Изготовить 90 единиц продукции для первого периода |
Период 1 (сверхурочный режим работы)
|
Изготовить 40 единиц продукции: 10 для периода 1, 30 для периода 2 и 10 для периода 3 |
Период 2 (обычный режим работы) |
Изготовить 100 единиц продукции для второго периода |
Период 2 (сверхурочный режим работы) |
Изготовить 60 единиц продукции для периода 2 |
Период 3 (обычный режим работы) |
Изготовить 120 единиц продукции для третьего периода |
Период 3 (сверхурочный режим работы) |
Изготовить 80 единиц продукции для периода 3 |
Период 4 (обычный режим работы) |
Изготовить 110 единиц продукции для четвертого периода |
Период 4 (сверхурочный режим работы)
|
Изготовить 50 единиц продукции для периода 4; осталась неиспользованной производственная мощность на 20 единиц продукции |
Соответствующие суммарные затраты при этом равны
90 6+ 10 9+30 9.10+100 6+60 9+10 9.20+
+120 6+80 9+110 6+50 9=4685 грн.