3.2.3. Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Эта модель рассматривает задачу управления запасами различных товаров, которые хранятся на одном складе ограниченной вместимости. Характер изменения запаса каждого товара в отдельности определяется функцией, показанной на рис. 3.1; предполагается, что дефицит отсутствует. Отличие от ранее рассмотренных моделей состоит в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное складское пространство.

Определим для товара , следующие параметры.

— интенсивность спроса,

— стоимость размещения заказа,

— стоимость хранения единицы товара в единицу времени,

— объем заказа,

— необходимое пространство для хранения единицы товара,

— максимальное складское пространство для хранения товаров видов.

При отсутствии дефицита математическая модель сформулированной задачи имеет следующий вид.

Минимизировать

при ограничениях

,

.

Алгоритм решения этой задачи можно описать следующим образом.

Этап 1. Вычисляются оптимальные объемы заказов без учета ограничения по вместимости склада:

.

Этап 2. Осуществляется проверка, удовлетворяют ли найденные значения ограничению по вместимости склада. Если это так, вычисления заканчиваются, при этом значения являются оптимальными. В противном случае следует перейти к этапу 3.

Этап 3. Ограничение по вместимости склада должно удовлетворяться в форме равенства. Используется метод множителей Лагранжа для определения оптимальных объемов заказа для задачи с ограничением.

На этапе 3 строится функция Лагранжа

,

где — множитель Лагранжа.

Поскольку функция Лагранжа является выпуклой, оптимальные значения и находятся из следующих уравнений, которые представляют собой необходимые условия экстремума функции Лагранжа.

,

.

Второе уравнение показывает, что ограничение по вместимости склада в оптимальной точке должно удовлетворяться в форме равенства.

Из первого уравнения следует, что

.

Полученная формула показывает, что зависит от оптимального значения множителя Лагранжа. Кроме того, при значение является решением задачи без ограничения.

Значение может быть найдено следующим образом. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации , необходимо последовательно уменьшать на достаточно малую величину и можно использовать ее в данной формуле для вычисления соответствующего значения . Искомое значение приводит к значениям , которые удовлетворяют ограничению по вместимости склада в форме равенства.

3.3. Динамические задачи экономического размера заказа

Рассматриваемые здесь модели отличаются от представленных в разделе 3.2. Во-первых, уровень запаса контролируется периодически на протяжении конечного числа одинаковых периодов. Во-вторых, объем спроса на протяжении периода хотя и является детерминированным, но в то же время он динамический, поскольку может периодически меняться.

Ситуация, в которой имеет место переменный детерминированный спрос, называется планированием потребностей ресурсов. Подход к решению такой задачи рассмотрим на примере. Предположим, что на протяжении следующего года квартальный спрос на модели и некоторой продукции равен 100 и 150 единиц соответственно. Поставки квартальных партий реализуются в конце каждого квартала. Срок выполнения заказа на модели и равен 2 месяца и 1 месяц соответственно. Для изготовления каждой единицы модели и используется 2 единицы комплектующих деталей . Срок изготовления комплектующих равен одному месяцу.

На рис. 3.7 схематически представлено календарное планирование производства моделей и . Построение плана начинается с отображения в виде сплошных стрелок квартального спроса на две модели, который имеет место в конце 3-, 6-, 9- и 12-го месяцев. Затем при известных квартальных сроках пунктирные стрелки указывают начало производства каждой партии продукции и в 1-й и 2-й месяцы.

Рисунок 3.7 – Календарное планирование производства двух моделей

Чтобы вовремя начать производство партий двух рассматриваемых моделей, поставка комплектующих должна совпадать с началом производства и , т.е. с пунктирными стрелками в планах их производства. Эта информация представлена сплошными стрелками на -схеме, где учитывается, что спрос на комплектующие равен 2 единицам на каждую единицу продукции и . Если учесть, что срок изготовления комплектующих равен одному месяцу, пунктирные стрелки на -схеме определяют план производства комплектующих. Исходя из указанных двух планов, можно определить соответствующий суммарный спрос на , как это показано в нижней части рис. 3.7. Результирующий переменный (но известный) спрос на комплектующие представляет собой типичную ситуацию, когда применяются динамические модели экономичного размера заказа. При указанном переменном спросе на комплектующие задача, по существу, сводится к определению объемов производства в начале каждого месяца для уменьшения затрат, связанных с производством и хранением продукции.

В этом разделе представлены две модели. В первой не учитывается стоимость размещения заказа, а вторая модель учитывает такие затраты.