2.3.4. Задача инвестирования

Предположим, что в начале каждого из следующих лет необходимо сделать инвестиции . Существует возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент , а второй — . Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы. Премиальные меняются от года к году, и для -го года равны и в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются в конце года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находиться там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиций на следующие лет.

Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этап представляется порядковым номером года , .

2. Вариантами решения на -м этапе (для -го года) являются суммы и инвестиций в первый и второй банк соответственно.

3. Состоянием на -м этапе является сумма денег на начало -го года, которые могут быть инвестированы.

Заметим, что по определению . Следовательно,

,

, (2.6)

где . Сумма денег , которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении -го года.

Пусть — оптимальная сумма инвестиций для интервала от -го до -го года при условии, что в начале -го года имеется денежная сумма . Далее обозначим через накопленную сумму к концу -го года при условии, что и — объемы инвестиций на протяжении -го года в первый и второй банк соответственно.

Обозначая , , можно сформулировать задачу в следующем виде. Максимизировать

,

где

, ,

.

Поскольку премиальные за -й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для добавлены и .

Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид

, , (2.7)

где выражается через в соответствии с приведенной выше формулой, а .

Пример 2.6

Предположим, необходимо инвестировать 4000 грн. сейчас и 2000 грн. в начале каждого года, от второго до четвертого, считая от текущего года. Первый банк выплачивает годовой сложный процент 8% и премиальные на протяжении следующих четырех лет в размере 1.8, 1.7, 2.1 и 2.5% соответственно. Годовой сложный процент, предлагаемый вторым банком, на 0.2% ниже, чем предлагает первый банк, но его премиальные на 0.5% выше. Задача состоит в максимизации накопленного капитала к концу четвертого года.

Используя введенные выше обозначения, имеем следующее.

, ,

,

,

, , , ,

, , , .

Этап 4.

,

где

.

Функция является линейной по в области , и, следовательно, ее максимум достигается при из-за отрицательного коэффициента при . Следовательно, оптимальное решение для этапа 4 может быть представлено в следующем виде.

Таблица 2.19 – Этап 4

	Оптимальное решение
Состояние
		0

Этап 3.

,

где

,

.

Следовательно,

.

Таблица 2.20 – Этап 3

	Оптимальное решение
Состояние
	2216+1.1909	0

Этап 2.

,

где

,

.

Следовательно,

.

Таблица 2.21 – Этап 2

	Оптимальное решение
Состояние
	4597.8+1.27996

Этап 1.

,

где

,

.

Следовательно,

.

Таблица 2.22 – Этап 1

	Оптимальное решение
Состояние
	7157.7+1.38349	4000

При вычислениях в обратном направлении получаем следующее.

,

,

.

Следовательно, оптимальное решение будет записано следующим образом (табл. 2.23).

Таблица 2.23 – Оптимальное решение

Год	Оптимальное решение	Решение, принимаемое инвестором	Накопления
1		Инвестировать в первый банк
2		Инвестировать в первый банк
3		Инвестировать во второй банк
4		Инвестировать во второй банк
		Всего	12 691.70