2)Каждому входу соответствует один и единственный выход при условии, что известна функция состояния системы .

Схема представлена на рис. 3.2, b: имеем зависимость

, (3.2)

где – состояние системы.

Таким образом, в системах второго типа учитываются изменения показателей внутреннего состояния в зависимости от изменения входов и внутреннего состояния системы.

3) Системы с многовариантным представлением внутреннего состояния

Система представлена на рис. 3.2, c. Системы третьего типа связывают свойства многовариантности, обусловленные неоднозначностью как выбора внутреннего состояния в зависимости от входа, так и неоднозначность выхода при фиксированном внутреннем состоянии.

4) Системы с обратной связью

Система представлена на рис. 3.2, d: блок сравнения (или блок анализа) получает информацию из выходного потока и генерирует управляющее воздействие на систему в зависимости от результатов анализа.

Очевидно, что реальные системы представляют собой комбинацию перечисленных представлений.

Рисунок 3.2 - Кибернетическое представление систем

Таким образом, будем рассматривать процесс прогнозирования какого-либо показателя как систему, например, систему, представленную на рис. 3.2, а,можем интерпретировать как процесс прогнозирования уровня урожайности от количества вложенных удобрений: , где - количество вложенных удобрений; - урожайность культуры; - система, отражающая процесс сеяния и сбора урожая после внесения удобрений.

При прогнозировании реальное явление заменяется математической моделью, т.е. функция аналитически “описывает” состояние системы .

Учитывая способы кибернетического представления систем, рассмотрим укрупненную схему процесса прогнозирования, как показано на рис. 1.3.

Отметим основные достоинства кибернетического подхода к прогнозированию:

1) кибернетическое представление исследуемых процессов помогает четко выделить элементы и показатели прогнозирования: каждый структурный блок – элемент системы (показатель системы);

2) выделение в анализируемых процессах входов и выходов позволяет изучить потоки информации: каждая связь в схеме – управляющее воздействие или поток информации;

3) системный подход обеспечивает различный уровень детализации в представлении изучаемого процесса.

3.3 Оценка качества прогнозирования

Качество прогнозирования, прежде всего, характеризуется ошибкой прогноза (математическое определение качества прогноза): предполагается, что чем меньше ошибка прогноза, тем выше качество прогноза.

Все существующие методики оценки качества прогнозирования можно условно разделить на три группы показателей:

1) абсолютные;

2) сравнительные;

3) качественные.

Абсолютные показатели оценки качества прогноза позволяют количественно определить величину ошибки прогноза в единицах измерения прогнозируемого объекта или в процентах. Это среднеквадратическая ошибка _t, абсолютная ошибка , средняя абсолютная ошибка , относительная ошибка _пр и средняя относительная ошибка . Рассмотрим эти показатели.

Абсолютная ошибка прогноза может быть определена как разность между фактическим значением (x_i)и прогнозом (x^*_i), значит,

; (3.3)

среднее абсолютное значение ошибки

. (3.4)

Среднее абсолютное значение всегда неотрицательно, так как неотрицательно (и когда отрицательно, т.е. ). Среднеквадратическая ошибка прогноза рассчитывается по формуле

, (3.5)

где n — период упреждения.

Следует отметить, что существует связь среднего абсолютного отклонения со стандартным отклонением _t .

Для большого класса статистических распределений значение стандартного отклонения несколько больше значения среднего абсолютного отклонения и строго пропорционально ему. Константа пропорциональности для различных распределений колеблется между 1.2 и 1.3. Чаще всего на практике берется значение 1.25, поэтому

. (3.6)

Недостатком рассматриваемых показателей является то, что значение этих характеристик существенно зависит от масштаба измерения уровней исследуемых явлений.

Поэтому абсолютная ошибка прогноза может быть выражена в процентах относительно фактических значений показателя следующим образом:

(%), (3.7)

а средняя относительная ошибка рассчитывается как

(%). (3.8)

Данный показатель, как правило, используется при сравнении точности прогнозов разнородных объектов прогнозирования, поскольку этот показатель характеризует относительную точность прогноза.

Если на практике x_t>0, то становится бесконечной величиной. Поэтому при экономическом прогнозировании для случаев, когда данные не могут принимать нулевые значения, вычисляется . Если же x_t=0, целесообразно пропустить соответствующие вычисления, уменьшая при этом и число n на единицу.

Средняя абсолютная и среднеквадратическая ошибки фиксируют среднее значение ошибки на каждом шаге прогноза без учета этой ошибки. Средняя ошибка позволяет определить, какой вид ошибки является наиболее типичным — недооценка или переоценка прогнозируемого показателя. Необходимо иметь в виду, что и _пр равны нулю только тогда, когда x_t=x^*_t для каждого t, т. е. в случае совершенного прогноза. Аналогичное утверждение несправедливо для абсолютной ошибки , поскольку здесь может иметь место взаимопогашение ошибок. Для расчета этих показателей могут быть использованы как абсолютные величины переменных, так и их приросты или темпы приростов.

Сравнительные показатели оценки качества прогноза основаны на сравнении ошибки рассматриваемого прогноза с эталонными прогнозами определенного вида [3, 10, 18, 19, 24, 39, 52].

Один из типов таких показателей (k) может быть представлен следующим образом:

, (3.9)

где p^*_t — прогнозируемое значение величины эталонного прогноза.

В качестве эталонного прогноза может быть выбрана простая экстраполяция, постоянный темп прироста и т.п. Частным случаем показателей такого типа является коэффициент несоответствия( ), в котором p^*_t= 0 для всех t:

, (3.10)

где в случае совершенного прогноза.

не имеет верхней конечной границы. В случае необходимости можно построить различные модификации коэффициента несоответствия.

К сравнительным показателям следует отнести и коэффициент корреляции (R) между прогнозируемыми и фактическими значениями переменной:

. (3.11)

Одним из недостатков использования коэффициента корреляции в качестве измерителя точности прогнозов является то, что полная положительная корреляция не предполагает совершенного прогноза. Например, если R=l, то это означает, что существует линейная зависимость между рядами прогнозных и фактических величин, т.е. можно подобрать такие константы  и  (>0), что . При этом для совершенного прогноза необходимо, чтобы = 0 и  = 1. Вследствие этого коэффициент корреляции наиболее пригоден для анализа прогнозов циклически развивающихся переменных.

Качественные показатели позволяют провести некоторый анализ видов ошибок прогнозов, разложить их на какие-либо составляющие. Особенно такой анализ важен для циклически изменяющихся переменных, когда необходимо прогнозировать не только общее направление развития, но и поворотные точки цикла, в которых меняются коэффициенты адаптации прогнозной модели.

Одним из методов такого анализа является построение диаграмм (или графиков) в одних координатных осях для реальных и прогнозных данных.

Использование диаграмм позволяет содержательно оценить качество различных прогнозов, рассчитать некоторые коэффициенты, анализирующие качество прогнозирования, а также позволяет выделить наиболее типичные ошибки (недооценки или переоценки изменений) прогнозирования.

Все рассмотренные выше показатели точности прогноза используются при проверке точности прогноза, полученного в виде точечных оценок. Если же при прогнозировании получен интервальный прогноз, то мерой точности прогноза может быть относительное число случаев к общему числу случаев, предложенное Е.М. Четыркиным [3] :

, (3.12)

где р – число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q– число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

Если =1, то все прогнозы подтверждаются, и =0, если прогнозы не подтверждаются (p=0).

Рассмотренные выше показатели точности прогноза могут быть использованы только при наличии информации о фактических значениях исследуемого показателя. Все они имеют большую ценность при сопоставлении различных методик прогнозирования.

Если же статистических данных о прогнозируемом показателе нет, то проблема точности рассматривается как проблема сопоставления априорных качеств или свойств, присущих альтернативным прогностическим моделям. Причем при прогнозировании статистическими методами понятия априорной точности прогноза связывают с размером доверительного интервала. В этом случае модель-прогноз считается более точной, если при одной и той же доверительной вероятности она дает более узкий доверительный интервал по сравнению с другой моделью.

Выбор показателей точности прогнозов зависит от задач, которые ставит перед собой исследователь при анализе точности прогноза. При этом необходимо помнить о фоне прогнозирования.

Важным критерием правильности применения прогнозной модели является проверка на адекватность. Адекватными моделями считаются такие, для которых остаточная компонента имеет свойства независимости, случайности и нормальности распределения [3, 38].

Для проверки корреляции внутри ряда применяется критерий Дарбина–Уотсона [3, 38]. В соответствии с этим критерием, если величина близка к 2, то можно считать модель регрессии достаточно адекватной:

, (3.13)

где – длина временного ряда;

– ошибка прогноза: .