4.Матрицы

Вывод змейки. Дана матрица из n строк и m столбцов, причем n > m. Вывести некоторые элементы матрицы в таком порядке, как это указано числами на рисунке (элементы матрицы, обозначенные черточками, выводить не нужно):

1	2	-	-
3	4	5	-
-	6	7	8
-	-	9	10
-	11	12	13
14	15	16	-
17	18	-	-
19	20	21	-
-	22	23	24

. . .

Пусть на вход алгоритма поступают:

1) количество строк – переменная n;

2) количество столбцов – переменная m;

3) матрица (двумерный числовой массив) – переменная A.

Идея алгоритма. Для вывода строк матрицы организуем цикл от 1 до n. На каждом i-м шаге цикла выводится два или три элемента с номерами столбцов от k1 до k2. Вспомогательная переменная p определяет направление сдвига для последующей строки. Если p = 1, то номера k1 и k2 сдвигаются вправо, если p = – 1, то влево.

Трудоемкость алгоритма подсчитать легко: цикл по i выполнится ровно n раз, при этом в цикле выводится максимум три элемента и выполняется фиксированное количество других действий. Таким образом, с точностью до постоянного множителя алгоритм имеет трудоемкость порядка n (линейную).

Алгоритм.

j:=0;

for i:=1 to n do {цикл по строкам}

begin k1:=j; k2:=k1+2;

if j=0 then begin p:=1; k1:=1 end

else if j=m-1 then begin p:=-1; k2:=m end;

for l:=k1 to k2 do write(A[i,l],' ');

j:=j+p

end

Общие числа. Дана целочисленная матрица из n строк и m столбцов. В каждой строке матрицы числа упорядочены по возрастанию. Найти все такие числа, которые встречаются в каждой строке матрицы.

Пусть на вход алгоритма поступают:

1) количество строк – переменная n;

2) количество столбцов – переменная m;

3) матрица (двумерный числовой массив) – переменная A.

Идея алгоритма. Понятно, что числовые значения, встречающиеся в каждой строке матрицы, обязательно присутствуют и в первой строке. Поэтому можно организовать цикл по элементам первой строки и для каждого элемента проверить, что элементы с таким же значением встречаются во всех других строках. Для проверки необходимо организовать цикл по всем другим строкам, и внутри этого цикла, в свою очередь, цикл по элементам строки. При этом следует обеспечить досрочное прекращение циклов, если обнаружится, что в какой-либо строке искомое значение найдено или его заведомо нет.

Если в первой строке встречаются элементы с одинаковым значением, то цикл необходимо организовать не по элементам, а по разным значениям. Так как элементы в первой строке упорядочены, то одинаковые значения всегда располагаются подряд.

Заметим, что в этом алгоритме не использована исходная упорядоченность элементов по строкам.

Трудоемкость алгоритма имеет порядок n * m ² (кубический). Для каждого элемента первой строки (таких элементов m), просматриваются все (или почти все) элементы матрицы (кроме первой строки), т.е. (n – 1) m элементов.

Ниже приведен описанный алгоритм А и ускоренный (Б).

Алгоритм А.

k:=1;

while(k<=m) do {цикл по различным значениям 1-й строки}

begin

i:=2; p:=1; {если p=0, то в одной из строк, начиная с 2-й по

n-ю нет совпадения с A[1,k]}

while (p=1) and (i<=n) do

begin r:=0; {если r=1, то совпадение найдено}

j:=1;

while (r=0) and (j<=m) do

if A[1,k]=A[i,j] then r:=1 else j:=j+1;

p:=r;

end;

if p=1 then write(A[1,k],' ');

{вывод найденного значения}

k:=k+1; {переход к следующему значению 1-й строки}

while (k<=m) and (A[1,k]=A[1,k-1]) do k:=k+1;

end;

Алгоритм Б.

for i:=2 to n do T[i]:=1; {массив номеров для строк}

k:=1;

while(k<=m)do {цикл по различным значениям 1-й строки}

begin

i:=2; p:=1; {если p=0, то в одной из строк, начиная с

2-й по n-ю нет совпадения с A[1,k]}

while (p=1) and (i<=n) do

begin

while (T[i]<=m) and (A[i,T[i]]<A[1,k]) do T[i]:=T[i]+1;

if (T[i]>m) or (A[1,k]<>A[i,T[i]]) then p:=0;

{если p=0, то совпадение отсутствует}

end;

if p=1 then write(A[1,k],' ');

{вывод найденного значения}

k:=k+1; {переход к следующему значению 1-й строки}

while (k<=m) and (A[1,k]=A[1,k-1]) do k:=k+1;

end;

Трудоемкость алгоритма. Более эффективен алгоритм Б с квадратичной трудоемкостью n * m. В нем используется упорядоченность строк. Просматриваются элементы во всех строках параллельно, с помощью массива номеров просматриваемых элементов в каждой из строк (массива T).