Алгоритм метода множителей Лагранжа

1. Составляют функцию Лагранжа.

2. Вычисляют частные первые производные от функции Лагранжа по переменным и и приравнивают их нулю.

3. Решая, систему уравнений (3.4), определяют точки, в которых целевая функция (3.1) может иметь экстремум.

4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум (минимум или максимум), и вычисляют значения целевой функции (3.2) в этих точках.

5. По знаку второй производной от функции Лагранжа по переменным определяют тип экстремума.

Для решения экстремальных задач с ограничениями в виде равенств используется метод множителей Лагранжа, сводящие задачу с ограничениями к обычной экстремальной задачи без ограничений.

Экономический смысл теоремы Лагранжа

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в , то существует по крайней мере одна точка , такая, что справедливо неравенство:

.

Экономический смысл теоремы Лагранжа. Пусть описывает зависимость выпуска от затрат некоторого специфического ресурса. Если объем затрат увеличили с до единиц, то разность выражает соответствующее изменение выпуска.

Отношение

(2)

показывает на сколько единиц в среднем изменяется выпуск продукции, если затраты возросли на одну единицу. Другими словами, (4)- средняя производительность ресурса на промежутке .

Предельная производительность ресурса равна значению производной функции выпуска при данном уровне затрат. Если затраты ресурса составляют единиц, то - соответствующая им предельная производительность .

На основании теоремы Лагранжа можно утверждать, что для процесса производства описываемого функцией выпуска , которая непрерывна на и дифференцируема в , существует, по крайней мере, один уровень затрат , при котором предельная производительность соответствующего ресурса совпадает с его средней производительностью на .

Пример:

По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены 2-мя технологическими способами.

При производстве - изделий 1-ым способом затраты равны (т. руб.), а при изготовлении - изделий 2-ым способом они составят (т. руб.).

Определить сколько изделий каждым из способов необходимо изготовить, чтобы общие затраты на производство были минимальные.

(условие ограничения)

Решаем задачу методом Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа:

2. Берем частные производные:

3. Приравниваем их к нулю (для того, чтобы найти точки подозрительные на экстремум).

т.к. вторые производные больше нуля, тогда в этой точке мы имеем минимум затрат.

(т.р.)

Ответ: предприятие изготовит 91 изделий 1-ым технологическим способом и 89 – 2-ым способом, тогда общие затраты будут минимальным и составят 17278 тыс. руб.