Б. Критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка.

1. Для того чтобы матрица Гессе Н(x*) была положительно полуопределенной (Н(x*) > 0) и точка x* может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.

1. Для того чтобы матрица Гессе Н(x*) была отрицательно полуопределенной (Н(x*) < 0)) и точка x* может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечетного порядка - неположительны.

Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе).

Определение 2.3 Собственные значения матрицы Н(x*)

размера (n х n) находятся как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения n-й степени):

(2.10)

Замечание 2.1. Собственные значения вещественной симметрической матрицы Н(x*) вещественны.

Оба способа проверки достаточных и необходимых условий экстремума второго порядка приведены в табл. 2.1.

Алгоритм решения задачи

Шаг 1. Записать необходимые условия экстремума первого порядка в фор­ме (2.3) и найти стационарные точки x* в результате решения системы п в об­щем случае нелинейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Для чис­ленного решения системы могут использоваться методы простой итерации, Зейделя, Ньютона.

Шаг 2. В найденных стационарных точках х* проверить выполнение доста­точных, а если они не выполняются, то необходимых условий второго порядка с помощью одного из двух способов (см. табл. 2.1).

Шаг 3. Вычислить значения f(x*) в точках экстремума.

Пример: Найти экстремум функции f(x) = на множестве R^².

□ 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

В результате решения системы получаем стационарную точку

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.

Первый способ. Матрица Гессе имеет вид . Так как ,то в точке локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1).

Второй способ. Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (2.10):

= 0. Отсюда =0 и = 2>0. Так как все собственные значения положительны, то в точке х' локальный минимум (строка 1 в табл. 2.1). Из примера 1.19 следует, что функция является строго выпуклой на множестве R². Поэтому точка локального минимума является и точкой глобального минимума (см. п. 3 утверждения 1.1).

2. Вычислим значение функции в точке глобального минимума: f(*) = 0. ■

Экономический смысл производной

Пусть функция выражает количество произведенной продукции за время . Необходимо найти производительность труда в момент времени .

За период времени от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за этот период времени равна . Очевидно, что производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е. равна

.

Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Производная логарифмической функции называется логарифмической производной, а так же относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

Пример 4. Объем продукции , произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Производительность труда выражается производной

,

а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной

В заданные моменты времени соответственно имеем:

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Обозначим через объем производства некоторой продукции, через - суммарные затраты или издержки производства. Производственная функция (функция затрат) описывает зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции:

.

Если объем производства увеличится на единиц, то затраты возрастут на единиц.

Среднее приращение издержек выражается отношением .

Под предельными издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е.

.

Предел выражает дополнительные затраты на производство продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет единиц.

Экономический смысл производной в данной точке: производная выражает предельные издержки производства при данном объеме и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Пример 5. Допустим, функция затрат имеет вид:

.

Определим предельные издержки производства при данном объеме выпуска .

Решение. , тогда .

Видим, что и, вообще, , если . То есть с увеличением объема производства предельные издержки (дополнительные затраты на следующую за -овой малую единицу выпуска) убывают.

Увеличение выпуска на малую единицу требует все меньших дополнительных затрат.

Пример 6. Пусть зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой . Определим скорость изменения спроса, когда цена на товар составляет 1 ден.ед., 4 ден. ед.

Решение. Скорость изменения любой функции равна ее производной. В данном случае

.

Отсюда .

Знак “минус” показывает, что с увеличением цены спрос на товар падает.

Методы минимизации функций одной переменной

Наиболее просты с математической точки зрения случаи, когда целевая функция задается явной формулой и является при этом дифференцируемой функцией. В этом случае для поиска точек экстремума может быть использована производная.

Замечания:

1. Если требуется определить глобальные экстремумы, то они находятся в результате сравнения значений функции в точках локальных минимумов и максимумов с учетом ограниченности функции на .

2. Для случая функции f(х) одной переменной (n = 1) можно сформулировать правило:

Если функция f(x) и ее производные непрерывны, то точка х* является точкой экстремума тогда и только тогда, когда число т - четное, где т – - порядок первой не обращающейся в нуль в точке х* производной. Если то в точке х* - локальный минимум, а если то в точке х* - локальный максимум. Если число т нечетное, в точке х* нет экстремума.

Функция f(x) имеет локальный минимум в точке х₀, если существует некоторая положительная величина d (дельта) такая, что если , то .

Функция f(x) имеет глобальный минимум в точке х^*, если для всех х справедливо неравенство: f(x)³ f(х^*)

Пример. Определить экстремумы функции, представленной на рис. 7.2

x₀ х^*

x_m x_c x

Рис.7.2

Мы должны найти значения х₀ и х^*, т.е. найти уравнения, которые должны удовлетворять. Наша функция непрерывная, ее производные тоже непрерывные, и в точках х₀ и х^* производная равна 0.

Следовательно, уравнение является только необходимым условием существования min, но не достаточным.

Заметим, что в т. х₀ и в т. х^* первая производная меняет знак с минуса » на плюс, а в точке знак меняется с «+» на «-«, в то время, как в точке он вообще не меняется (был и остался «+»).

Т.к. в точке минимума первая производная является возрастающей функцией, а степень возрастания определяется знаком второй производной, поэтому по знаку второй производной можно определить тип экстремума:

и в этих точках существует минимум функции.

А вторая производная в точке максимума меньше нуля:

Метод множителей Лагранжа

С помощью метода множителей Лагранжа можно определить экстремальные точки функции многих переменных при наличии дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами. Это один из методов для решения экстремальных задач с ограничениями в виде равенств, который сводит задачу с ограничениями к обычной экстремальной задаче без ограничений, которая решается известными способами.

Пусть имеется целевая функция , (3.1) экстремум которой требуется найти, причем существуют дополнительные условия:

. (3.2)

Ограничения в задаче заданы в виде равенства уравнениями (3.2), поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных.

Полагаем, что функция f(x) и непрерывны вместе со своими первыми частными производными. Для решения задачи составим функцию:

(3.3)Функция называется функцией Лагранжа, а числа - множителями Лагранжа. Необходимые условия экстремума функции состоят в равенстве нулю всех первых частных производных от по . По каждой переменной и вычисляются частные производные от функции (3.3) и приравниваются нулю:

В результате получим систему уравнений с неизвестными :

(3.4)

Решение этих уравнений относительно переменных и дает возможность определить положение стационарной точки. Следовательно, решая систему (3.4), получаем множество точек, в которых функция может иметь экстремальные значения. При этом неизвестен способ определения точек глобального минимума или максимума. Однако если решения системы найдены, то для определения глобального минимума (максимума) достаточно найти значения функции в соответствующих точках. Если для функции существуют вторые частные производные и они непрерывны, то можно вывести достаточное условие существования локального экстремума функции в точке, являющейся решением системы (3.4). Так, достаточное условие существования минимума функции одной переменной – это положительная величина производной четного порядка:

При наличии функции двух переменных достаточным условием существования минимума (максимума) функции является положительная (отрицательная) определенность матрицы:

Метод множителей Лагранжа можно применять и в том случае, если условие ограничения представляет собой неравенство. Так, если требуется найти экстремум функции при условии , (3.5) то сначала находят точки безусловного экстремума функции (3.1) из уравнения:

.

Затем среди этих точек, подозрительных на экстремум выбирают те, координаты которых удовлетворяют условиям ограничения (3.5), и, наконец, определяют точки, удовлетворяющие системе уравнений (3.4). Найденные точки вместе с точками, определенными на первом этапе и удовлетворяющими условию (3.5), и являются оптимальными точками, в которых достигается экстремум целевой функции.