Тема 4. Статистические модели и взаимосвязи.

Статистическое моделирование

Научно-технические достижения последних десятилетий характеризуются не только достижениями в разработке высоких технологий и достижениями фундаментальных наук, но и накоплением огромного количества экспериментальных и наблюдательных данных. Широкое внедрение компьютеров в процесс обработки большого количества результатов экспериментов позволяет не только получать надежные результаты, но и выявить новые закономерности в изучаемых явлениях.

При таких исследованиях применяется статистическое моделирование, то есть разработка разнообразных моделей, которые отображают статистические закономерности описываемого объекта, явления (тенденции развития, взаимосвязи, степень воздействия и т. д.).

Статистическое моделирование заключается в теоретическом обосновании выбора вида модели и оценивании ее параметров на основе экспериментальных данных, проверке адекватности выбранного вида модели реальным данным.

Объектами статистического моделирования являются различные распределения случайных величин, модели случайных процессов, экономико-статистические модели, уравнения регрессии, модели управления запасами и т. д. Общей специфической чертой этих моделей является учет случайных возмущений или отклонений.

В данной теме рассматривается метод построения математических моделей зависимостей в изучаемых явлениях в виде полиномов конечного числа степеней.

Метод наименьших квадратов

Результаты экспериментов обычно бывают представлены ограниченным числом в виде таблиц, отражающих зависимость величины исследуемого явления y от фактора x. Для практического же применения, как правило, бывает необходимо знать и промежуточные, по отношению к табличным, значения y.

Если бы была известна форма зависимости , то это означало бы, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. На практике явная связь между y и x обычно неизвестна. Поэтому возникает необходимость приближенной замены данной функции некоторой функцией . (Заметим здесь, что такая же задача возникает в том случае, если зависимость известна, но она настолько громоздка, что ее использование в практических расчетах затруднительно. Процедура же нахождения функции называется приближением к функции .)

Для множества точек наблюдений , можно попытаться выбрать различные типы кривых или прямую линию в зависимости от исходных данных. После подбора типа кривой можно проанализировать – какая кривая является «ближайшей» к точкам наблюдений. В качестве критерия «близости» используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной и теоретически подобранных значений , т.е. , где, .

Из теоремы дифференциального исчисления критическая точка на минимум находится из условий:

, .

Аналогичным образом можно выбрать наилучшую кривую по каждому типу кривой. Наиболее подходящим можно считать тот тип кривой, где будет наименьшее значение .

Наиболее часто используется функция вида (полиномиальный вид), при график – прямая, при график – парабола и т.д. Иногда рассматриваются функции: , , , и т.д.

Рассмотрим подробнее некоторые случаи.