Раздел 5. Приложения дифференциального
ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Сформулировать теорему Ролля. В чём состоит ее геометрический смысл?
2. Сформулировать теорему Коши.
3. Сформулировать теорему Лагранжа. В чём состоит её геометрический смысл?
4. Сформулировать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей.
5. Записать формулу Тейлора n-й степени с остаточным членом в форме Лагранжа. В каком случае эта формула называется формулой Маклорена?
6. Записать формулы Маклорена для функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a.
7. В чём заключается достаточный признак монотонности дифференцируемой функции?
8. Дать определение точки экстремума функции.
9. Сформулировать правило исследования функции на экстремум с помощью 1-й и 2-й производной.
10. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке?
11. Дать определения выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции.
12. Сформулировать правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба графика функции с помощью 2-й производной.
13. Что называется асимптотой графика функции?
14. В чём заключается необходимый и достаточный признак существования вертикальной асимптоты?
15. Как находятся наклонные асимптоты?
16. Описать общую схему полного исследования функции и построения её графика.
Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1. Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня.
2. Что называется пределом функции z = f(x, y) при x x0, y y0?
3. Дать определение непрерывности функции z = f(М) в точке М0. Привести пример разрывной функции.
4. Как определяются частные производные функции? Сформулируйте правило их вычисления.
5. Что называется полным приращением и дифференциалом функции z=f(x,y)? Какова их связь?
6. Дать определение частных производных высших порядков.
7.
Что называется производной функции в
данной точке M0
по направлению вектора
?
Записать формулу её вычисления.
8. Дать определение градиента функции. Как выражается производная по направлению через градиент? Сформулировать основные свойства градиента.
9. Что называется касательной плоскостью и нормалью к поверхности в данной её точке? Записать уравнение касательной плоскости и нормали.
10. Дать определение точки экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимый признак экстремума?
11. Сформулировать достаточный признак Сильвестра существования экстремума функции 2-х переменных.
12. Описать правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции 2-х переменных в замкнутой области.
Рекомеhдуемая литература
1. Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие. Часть 1. / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. Центр дистанционного обучения. – 4-е изд., испр. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2004. – 242 с.
2. Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие. Часть 2. / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. Центр дистанционного обучения. – 4-е изд., испр.– Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. – 237 с.
3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. –
3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).
4. Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учеб. для студентов втузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 480 с.
5. Сбоpник задач по математике для втузов. Линейная алгебpа и основы математического анализа / Под pед. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М.: Hаука. – 1981.– 464 с.