Раздел 3. Введение в математический анализ

1. Что называется действительной функцией действительного аргумента? Привести примеры функций и указать их область определения и область значений.

2. Какая функция называется сложной? Привести примеры.

3. Какая функция называется неявно заданной? Привести примеры.

4. В каком случае функцию называют четной, нечетной, периодической, возрастающей, убывающей, монотонной, ограниченной?

5. Какие функции называют взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику заданной функции?

6. Основные элементарные функции и их графики.

7. Понятие предела функции. Геометрическая иллюстрация.

8. Предел числовой последовательности. Привести примеры сходящейся и расходящейся последовательности.

9. Сформулировать условие сходимости монотонной числовой последовательности.

10. Какая функция называется бесконечно малой (б. м.) и какие у неё основные свойства? Привести примеры.

11. Какая функция называется бесконечно большой (б. б.) и какова её связь с бесконечно малой?

12. Сформулировать основные теоремы о пределах (об единственности предела; о пределе суммы, произведения и частного).

13. Сформулировать первый замечательный предел.

14. Сформулировать второй замечательный предел.

15. Что значит сравнивать две б. м. или две б. б. функции? Объяснить понятия: две функции одинакового порядка; эквивалентные; одна из них имеет больший порядок, чем другая. Привести примеры.

16. Привести таблицу эквивалентностей б. м.

17. Виды неопределенностей, способы их раскрытия. Применение эквивалентных б. м. и б. б. для раскрытия неопределенностей.

18. Дать два-три равносильных определения непрерывности функции в точке.

19. Что называется точкой разрыва функции? Дать их классификацию и привести геометрическую иллюстрацию.

20. Сформулировать теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.

21. Что можно сказать о непрерывности основных элементарных функций? Какие точки могут являться точками разрыва таких функций?

22. Сформулировать основные свойства функции, непрерывной на отрезке. Дать геометрическую иллюстрацию этих свойств.

2-й семестр

Раздел 4. Дифференцирование функции

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Дать определение производной функции. В чем состоит механический и геометрический смысл производной?

2. Записать уравнения касательной и нормали к графику функции y = f(x) при x=x₀.

3. Вывести правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций.

4. Вывести правила дифференцирования сложной функции, обратной функции и функций, заданных в параметрической и неявной формах.

5. Вывести формулы для дифференцирования основных элементарных функций.

6. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. В каких случаях оно применяется?

7. Что называется дифференциалом функции? Каков его геометрический смысл?

8. На чём основано применение дифференциала функции в приближённых вычислениях?

9. Сформулируйте определения производных и дифференциалов высших порядков.

10. Каков механический смысл второй производной?