Раздел 1. Линейная алгебра

1. Определить правила сложения матриц, умножения матрицы на число, умножения 2-х матриц.

2. Записать правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

3. Перечислить свойства определителей и проверить их для случая определителя 3-го порядка.

4. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента определителя?

5. Написать формулу разложения определителя n-го порядка по какой-либо строке или столбцу.

6. Что такое ранг матрицы?

7. Отыскание ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы.

8. Определение и вычисление обратной матрицы. Обосновать единственность и существование обратной матрицы.

9. Дать определение совместной, определенной и неопределенной системы линейных уравнений.

10. Сформулировать теорему Кронекера - Капелли.

11. Сформулировать теорему о числе решений совместной системы линейных уравнений.

12. Формулы Крамера решения системы 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.

13. Описать последовательность действий при решении системы линейных уравнений методом Гаусса.

14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

15. Сформулировать признак существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений.

16. Что такое общее решение неопределенной системы линейных уравнений? Как его получить методом Гаусса?

Раздел 2. Элементы векторной алгебры и

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Какие векторы называются коллинеарными, равными, компланарными?

2. Что называется суммой векторов и произведением вектора на число?

3. Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве?

4. Какой базис называется ортонормированным?

5. Что такое прямоугольные координаты вектора и точки?

6. Как вычислить координаты вектора по известным координатам его конца и начала?

7. Как найти расстояние между двумя точкам с известными координатами?

8. Что называется скалярным произведением 2-х векторов и каковы его свойства?

9. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.

10. Применение скалярного произведения.

11. Что называется векторным произведением 2-х векторов и каковы его свойства?

12. Вывести формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме.

13. Применение векторного произведения.

14. Что называется смешанным произведением 3-х векторов и каковы его свойства?

15. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения в координатной форме.

16. Применение смешанного произведения.

17. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

18. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно заданному вектору.

19. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

20. Как вычислить расстояние от точки до прямой на плоскости?

21. Эллипс: определение, каноническое уравнение, построение.

22. Гипербола: определение, каноническое уравнение, построение.

23. Парабола: определение, каноническое уравнение, построение.

24. Как привести к каноническому виду уравнение 2-й степени

Ax² + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0?

25. Вывести уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

26. Вывести уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

27. Как вычислить расстояние от точки до плоскости?

28. Вывести уравнения прямой в пространстве, проходящей через заданную точку, параллельно заданному вектору.

29. Вывести уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.