Определение 5 (асимптотической устойчивости в целом). Пусть система (1.2.1) определена во всем , т.е. в определении области . Решение называется асимптотически устойчивым в целом (или глобально асимптотически устойчивым), если его областью притяжения является все , т.е. ■

Замечание. Аналогично определяется экспоненциальная устойчивость в целом (глобальная экспоненциальная устойчивость). ■

1.3 Приведенная (по Ляпунову) система

В математических методах исследования устойчивости систем нелинейных и нестационарных дифференциальных уравнений с помощью второго (или прямого) метода Ляпунова имеют дело только с системами, допускающими тривиальное решение. Рассмотрим формальную процедуру приведения задачи исследования свойств устойчивости произвольного фиксированного решения системы к задаче исследования тривиального решения эквивалентной системы, допускающей тривиальное решение. Такую эквивалентную систему и будем называть (вслед за Ляпуновым) приведенной.

Пусть дана конечномерная гладкая динамическая система с непрерывным временем вида

(1.3.1)

и дано некоторое ее фиксированное решение , подлежащее исследованию.

Введем обозначение новой переменной

где - любое решение системы (1.3.1), т.е. есть отклонение произвольного решения от решения . Тогда, так как

Получим дифференциальное уравнение для отклонений вида

(1.3.2)

где обозначено:

Получили некоторую «новую» систему (1.3.2), эквивалентную «старой» системе (1.3.1), путем исключения из «старой» системы (1.3.1) некоторого решения , которое считаем известным и устойчивость которого подлежит исследованию. Очевидно, что система (1.3.2) допускает (в силу построения) тривиальное решение , что легко проверить его подстановкой.

Таким образом, привели задачу исследования устойчивости произвольного известного решения системы (1.3.1) к задаче исследования устойчивости тривиального решения (положения равновесия) так называемой «приведенной» системы (1.3.2) (по Ляпунову она называется также системой уравнений возмущенного движения, а решение - невозмущенным движением).

1.4 Функции Ляпунова

Пусть дана приведенная система

(1.4.1)

с областью определения f вида

(1.4.2)

причем f удовлетворяет свойствам (1.1.9), т.е. непрерывна по t и x и непрерывно дифференцируема по x. Кроме того, введем дополнительное ограничительное условие для f:

(1.4.3)

т.е. система (1.4.1) допускает тривиальное решение.

Определение 1. Скалярная вещественная функция векторного аргумента x и времени t вида

(1.4.4)

определенная в некоторой области

(1.4.5)

такой, что называется функцией Ляпунова (ФЛ) для системы (1.4.1) в области (короче, функцией Ляпунова) если она удовлетворяет следующим требованиям (свойствам):

а) - скалярная вещественная функция (скалярную функцию векторных аргументов часто называют функционалом);

б) - непрерывная функция по t и x;

в) ■

Определение 2. Функция Ляпунова называется знакопостоянной в области , а именно:

(а) знакопостоянной положительной (знакоположительной), если в области ;

(б) знакопостоянной отрицательной (знакоотрицательной), если в области .■

Определение 3. Функция Ляпунова , не зависящая от времени, называется знакоопределенной в области , а именно:

(а) положительно определенной (определенно положительной) в области , если

(б) отрицательно определенными (определенно отрицательной) в области , если ■

Определение 4. Функция Ляпунова вида , зависящая от времени, называется знакоопределенной в области , а именно:

а) положительно определенной в области , если выполнено неравенство:

где – не зависящая от времени положительно определенная функция Ляпунова, удовлетворяющая определению 3, т.е.

б) отрицательно определенной в области , если выполнено неравенство

где .■

Таким образом, для зависящих от времени знакоопределенных функций Ляпунова в области выполняется неравенство

, (1.4.6)

где - не зависящая от времени положительно определенная функция Ляпунова.

Полезное правило. Согласно определению 4, критерием, определяющим свойство положительной определенности функции Ляпунова, зависящей от времени, является некоторая не зависящая от времени положительно определенная функция , которую необходимо найти. Укажем один из приемов ее построения.

Пусть дана зависящая от времени функция Ляпунова в области . Если может быть построена в той же в области не зависимая от времени функция вида

, (1.4.7)

где inf (инфинум) – точная нижняя грань множества всех значений по (а точная верхняя грань обозначается как sup (супремум), то ее можно взять в качестве в определении 4 для исследования знакоопределенности функции , а именно, из (1.4.7) очевидно, что:

(1.4.8)

Пример применения полезного правила. Рассмотрим в функцию Ляпунова вида

(1.4.9)

1. При функция (1.4.9) является положительно определенной в , так как

при и

Действительно, из следует . Тогда, усиливая неравенство, получим

Очевидно, что здесь для функции (1.4.9) найдена не зависящая от времени функция Ляпунова такая что при

2. При функция лишь знакопостоянная положительная.□

Геометрическая интерпретация знакоопределенной функции.

Пусть дана положительно определенная функция Ляпунова - и найдена , такая, что .

Предположим, что поверхности уровня вида

=С (С=const, (1.4.10)

в пространстве представляют собой семейство непрерывных замкнутых поверхностей, окружающих начало координат 0 и монотонно расширяющихся при росте параметра (рисунок 2). Тогда очевидно, что каждая поверхность уровня вида

(1.4.11)

для любого будет целиком расположена внутри соответствующей поверхности уровня (см. рисунок 2).

Рисунок 2

Определение 5. Функция Ляпунова вида называется функцией, допускающей бесконечно малый высший предел (БМВП) при если существует предел равномерный на , т.е. по выбор которого не зависит от выбора , такое, что при будет (начиная с некоторого ).■

Определение 6. Функция Ляпунова вида называется функцией, допускающей бесконечно большой низший предел (ББНП) при если существует предельное соотношение , равномерное на , т. е. по любому числу найдется другое число выбор которого не зависит от выбора , такое, что при начиная с некоторого .■

Замечание. Корректное определение функции Ляпунова, допускающей ББНП при , должно опираться на систему, областью определения которой должно служить все , т.е.:

. (1.4.12)

При этом говорят, что система определена на всем .■

Определение 7. Функция Ляпунова , допускающая БМВП при и ББНП при называется функцией Ляпунова, допускающей бесконечный предел в целом (глобальный бесконечный предел). ■

Определение 8. Функция Ляпунова называется функцией, допускающей сильный БМВП при , если найдется независимая от времени положительно определенная функция Ляпунова , такая, что имеет место неравенство:

(1.4.13)

Замечание. Очевидно, что функция Ляпунова, не зависящая от времени, всегда имеет БМВП при (в силу того, что функция Ляпунова непрерывна по х и ■

Замечание. Для функции Ляпунова , зависящей от времени, можно практиковать такую двухстороннюю запись:

(1.4.14)

где – положительно определенные не зависящие от времени функции Ляпунова.

Такая запись (1.4.14) означает, что функция Ляпунова - положительно определенная и допускает сильный БМВП при .■