§8. Алгоритм вычисления пределов функций
а) представляющих, дробно-рациональную функцию;
б) содержащих, тригонометрические функции
с)
что
и
не являются неопределенностью, в первом
случае предел равен нулю, во втором -
.
Пояснение:
имеющих,
вид
,
где
.
1. Подставить предельное значение аргумента в исследуемое выражение. Если при этом получено конечное значение, то оно является пределом данной функции.
2.
Определить тип неопределенности:
.
Заметим:
а) если функция является дробно- рациональной (сл. а), то далее выполняются пункты 3,4,5 алгоритма.
б) если функция содержит тригонометрические выражения, а неопределенность типа (сл. б), то далее выполняются пункты 6,7 алгоритма.
с)
если выражение представляет неопределенность
типа
(сл.
с), выполняется пункт 8.
3.
Выписать старшую степень числителя и
знаменателя
,
если функция представляет собой дробно
- рациональную и получена неопределенность
типа
.
4. Поделить числитель и знаменатель функции на .
5. Найти предел полученного выражения.
6.
Заменить данное выражение эквивалентным
ему более простым выражением, используя
таблицу эквивалентных бесконечно -
малых (следствие из первого замечательного
предела):
7. Найти предел эквивалентного выражения.
8. Преобразовать выражение к виду, позволяющему использовать 2 замечательный предел.
§9. Операции с пределами обобщим в виде таблицы
Операции |
|
|
Результат операции |
Сумма
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степень
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При
нахождении пределов вида
|
|||
(неопределённость)
(неопределённость)
(неопределённость)
(неопределённость)
(неопределённость)
(неопределённость)
(неопределённость)
необходимо иметь в виду следующее:
и
,
то
;
и
,
то
;
;
и
,
то
,
где
.
§10. Два замечательных предела |
|||
Первый замечательный предел
|
|
|
|
|
|
||
|
|||
Второй замечательный предел
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||
Предел
отношения двух многочленов при
|
|||
§11. Непрерывность функции |
|||
Определение.
Функция
Это означает, что функция удовлетворяет четырём условиям: 1.функция определена в точке и её окрестности; 2. существуют конечные пределы слева и справа; 3. пределы слева и справа равны; 4.значения пределов равны значению функции в точке :
Если хотя бы одно из четырёх условий непрерывности функции в точке не выполняется, то говорят, что функция терпит разрыв, а точку называют точкой разрыва. |
|||
1)
Функция
в окрестности точки
определена (в точке
может быть определена, может быть не
определена), существуют конечные
пределы слева и справа, но они не равны
между собой: |
|||
2)
Функция
в окрестности точки
определена (в точке
может быть определена, может быть не
определена), существуют конечные
пределы слева и справа равны между
собой, но не равные значению функции
в точке
: |
|||
|
|||
3) Функция в окрестности точки определена (в точке может быть определена, может быть не определена) и хотя бы один из пределов слева или справа равен бесконечности или не существует. А) Б) |
|||
§12. Наиболее часто встречающиеся пределы |
|||
|
|
||
|
|
||
:
называется непрерывной в точке
,
если
,
т.е. предел функции в точке
равен значению функции в этой точке.
.
.
Точку
называют точкой разрыва 1-рода. Разность
называют скачком функции
в точке
.
.
Точку
называют точкой разрыва 1-рода (точка
устранимого разрыва).
-
точка разрыва 1-рода (точка устранимого
разрыва).
.
Точку
называют точкой разрыва 2-рода.
.
Точку
называют точкой разрыва 2-рода.
§13.Таблица эквивалентности бесконечно малых |
|
Пусть
|
|
1 |
Алгебраическая
сумма
конечного числа бесконечно малых при
|
2 |
Произведение бесконечно малых при на функцию ограниченную в некоторой
окрестности
точки
есть бесконечно малая при
:
|
3 |
Произведение бесконечно малая на постоянную величину есть величина бесконечно
Малая
бесконечно малая:
|
5 |
Произведение конечного числа бесконечно малых при есть величина бесконечно малая при . |
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
при
малом
|
16 |
|
бесконечно малая величина при
,
есть величина бесконечно малая:
бесконечно малая.
бесконечно малая.
бесконечно
малая
Таблица производных |
|||
№/п |
Формула |
№/п |
Формула |
1 |
|
22 |
где
|
2 |
где
|
23 |
|
3 |
|
24 |
; |
4 |
|
25 |
|
5 |
|
26 |
|
6 |
|
27 |
|
7 |
|
28 |
|
8 |
|
29 |
|
9 |
|
30 |
|
10 |
|
31 |
|
11 |
|
32 |
|
12 |
|
33 |
|
13 |
|
34 |
|
14 |
|
35 |
|
15 |
|
36 |
|
16 |
|
37 |
|
17 |
|
38 |
|
18 |
|
39 |
|
19 |
|
40 |
|
20 |
|
41 |
|
21 |
|
42 |
|
,
где
,
,
,
где
;
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
,
где
Таблица интегралов |
|||
№/п |
Формула |
№/п |
Формула |
1 |
|
18 |
|
2 |
|
19 |
|
3 |
|
20 |
|
4 |
|
21 |
|
5 |
|
22 |
|
6 |
|
23 |
|
7 |
|
24 |
|
8 |
|
25 |
|
9 |
|
26 |
|
10 |
|
27 |
|
11 |
|
28 |
|
12 |
|
29 |
|
13 |
|
30 |
|
14 |
|
31 |
|
15 |
|
32 |
|
16 |
|
33 |
|
17 |
|
34 |
|
Таблица дифференциалов |
|||
1 |
|
12 |
|
2 |
|
13 |
|
3 |
|
14 |
|
4 |
|
15 |
|
5 |
|
16 |
|
6 |
|
17 |
|
7 |
|
18 |
|
8 |
|
19 |
|
9 |
|
20 |
|
10 |
|
21 |
|
11 |
|
22 |
|
;
Дифференциальное исчисление
1. Область определения функции.
Определение.
Область
определения функции
- это множество всех значений аргумента
,
для которых функция определена (имеет
смысл, может быть вычислена).
Алгоритм нахождения области определения функции
1. Выписать элементарные функции, из которых состоит данная функция.
2.Записать в виде системы неравенств и равенств области определения выделенных элементарных функций.
3. Найти решение полученной системы.
4.Выписать область определения исходной функции – решение системы.
2. Нули функции.
Определение.
Корнями
функции
называются значения аргумента
,
при которых
;
корень функции, если
.
Геометрически - это абсциссы точек
пересечения графика функции с осью
.
Для решения данной задачи необходимо
решить уравнение
с учётом области определения функции.
3. Четность или нечетность функции.
Определение. Функция называется четной (нечетной), если выполняются два условия:
1.
Для любого
,
т.е. область определения симметрична
относительно начала координат.
2.
Выполняется
равенство
.
В
противном случае, функция
называется функцией общего
вида.
Свойства графика четной
(нечетной)
функции.
График четной функции симметричен
относительно оси ординат
,
график нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Для решения данной задачи необходимо проверить равенства для каждой функции.