Область определения функции.

Определение 1. Область определения функции - это множество всех значений аргумента , для которых функция определена (имеет смысл, может быть вычислена).

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считается, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

1. Алгоритм нахождения области определения функции

1. Выписать элементарные функции, из которых состоит данная функция.

2. Записать в виде системы неравенств и равенств области определения выделенных элементарных функций.

3. Найти решение полученной системы.

4.Выписать область определения исходной функции – решение системы.

2. Область значений функции. График функции.

Определение 2. Областью значений функции называется множество, состоящее из всех чисел , таких, что принадлежит области определения функции .

Определение 3. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, где , а «пробегает» всю область определения функции .

3. Нули функции.

Определение 4. Нулями функции называются значения аргумента , при которых ; - корень функции, если . Геометрически - это абсциссы точек пересечения графика функции с осью .

Особенности нахождения ОДЗ алгебраических выражений (обобщающая таблица)
Вид выражения	Особенность нахождения ОДЗ
		Выражения, стоящие в знаменателях дробей, не должны равняться нулю.
		Выражения, стоящие под знаком корня четной степени, должны быть неотрицательны.
		Нуль нельзя возводить в нулевую и отрицательную степени.
, где
, где – дробное положительное число; , где – дробное отрицательное число		Отрицательные числа нельзя возводить в дробную степень.
		Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть положительны.
		Выражения, стоящие в основании логарифма, должны быть положительны и не равны единице.
		Аргумент тангенса не должен принимать значений, для которых тангенс не определен .
		Аргумент котангенса не должен принимать значений, для которых котангенс не определен .
		Аргументы арксинуса и арккосинуса не должны превосходить по модулю единицу.

Предел функции Теоретический материал

§1. Последовательность и ее предел.

Определение 1. Если каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в определенное действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Числа: называются членами последовательности, называют общим членом последовательности.

Для краткости последовательность часто обозначают .

Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любого (хотя бы и как угодно малого) положительного числа существует такой номер , что все члены последовательности с номерами удовлетворяют неравенству .

То, что есть предел последовательности , записывают так: или .

Определение 3. Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность ограничена, то есть существуют такие числа

и , что для всех членов последовательности верно неравенство: .

Определение 4. Последовательность называется неубывающей, если

Определение 5. Последовательность называется невозрастающей, если

.

Определение 6. Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.

§ 2. Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Для того чтобы последовательность имела предел, равный , необходимо и достаточно, чтобы последовательность , где , сходилась к нулю.

Теорема 2. Если последовательности и сходящиеся, то и последовательность сходится, причем .

Следствие 1. Если последовательности и сходящиеся, то и последовательность сходится, причем .

Теорема 3. Если последовательности и сходятся и , , то и последовательность сходится, причем .

Теорема 4. Если последовательности и сходящиеся, то и последовательность сходится, причем .

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .

§3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Для того, чтобы число было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы могло быть представлено в виде ,где - бесконечно малая последовательность.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа существует номер , зависящий от этого числа, такой, что для любого номера верно неравенство: , в этом случае пишут: .

Теорема 4. Если последовательность , где , бесконечно большая, то последовательность бесконечно малая и наоборот, если последовательность бесконечно малая, то последовательность бесконечно большая.