2.5.3 Аналитические выражения для диффузии мышьяка

Хотя концентрационную зависимость коэффициентов диффу­зии мышьяка можно определить путем численного анализа экс­периментальных профилей распределения примеси после диффузии, в некоторых случаях аналитические выражения хорошо соответствуют экспериментальным данным. Эти выражения представляют собой полезные упрощения для оценки небольших технологических изменений, что позволяет не прибегать к слож­ной процедуре численного анализа на ЭВМ. Для аналитическо­го представления диффузионных профилей ионно-нмплантированных атомов As можно воспользоваться ортогональными поли­номами Чебышева [3]т Следующие уравнения описывают диф­фузионный профиль мышьяка;

C/ 1-0,87Y-0,45 (2.30)

Y=x (2.31)

Исходя из этих уравнений, можно получить выражения для , R₃ , и Q_T:

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Где - положение p—n перехода при концентрации, равной 0,01 C_s, Qt (см²) —доза имплантированных ионов, ( )аs (см²/с)—собственный коэффициент диффузии мышьяка, R_s Юм/П)—поверхностное сопротивление, а С_s (см^-3)—поверх­ностная концентрация. Для того чтобы рассчитать R_s и Q_T, мы произвольно приняли 0,01 C_s за положение . Так как профиль распределения мышьяка характеризуется большим градиентом концентрации при значении концентрации ниже 0,1 C_s, то, поло­жив глубину р—n перехода на уровне 0,01 С а, мы не внесем большой ошибки в оценочные значения поверхностного сопро­тивления R_s и дозы имплантированной примеси Qt-

Уравнение (2.32) дает только примерное положение р—n пе­рехода, в то время как более точные результаты можно полу­чать методами косого шлифа и окрашивания перехода. Во вся­ком случае, глубина зависит от уровня концентрации примеси в том месте, где сформирован р—nпереход.

По экспериментальным данным для подложек с ориентацией 1100) построены кривые, описывающие диффузионный профиль распределения концентрации мышьяка из слоев, имплантирован­ных в произвольном эквивалентном направлении при энергии конов 100 кэВ :[41]. Такие кривые построены для доз имплан­тированной примеси в диапазоне от 1,2>10¹⁰ до 2,4-10¹⁶ см^-г и области температур диффузии 925—1000 °С. Выражение для совпадает с уравнением (2.32), а выражение для поверхностной концентрации записывается как

(2.36)

Полагая, что подвижность носителей пропорциональна С^-1/3 выражение для R_s записывается в виде

(2.37)

где — константа, пропорциональная подвижности и равная 2,82-10³ см/В-с, a Qt — общая доза имплантированных ионов мышьяка. Уравнения (2.37) и (2.37) расширяют температурный диапазон отжига имплантированных слоев As до 925 °С. В тех случаях, когда рассчитанное из уравнений или зна­чение C_s превышает величину, полученную из уравнения, возникает необходимость учета процесса формирования класте­ров атомов мышьяка, а приближения, полученные в этом раз­деле, будут ошибочными.