2.3.2 Концентрационно-зависимые коэффициенты диффузии

При высокой концентрации примеси, как в случае диффузии в условиях постоянной поверхностной концентрации, так и в случае диффузии из ограниченного источника, измеряемые про­фили распределения концентрации примеси отклоняются от рас­считанных согласно уравнениям (5.8) и ^5.12). В большинстве случаев профиль распределения примеси в областях с высокой концентрацией может быть описан с помощью концентрацион­ной зависимости коэффициента диффузии. Для определения кон­центрационной зависимости коэффициента диффузии из экспери­ментальных данных используют уравнение (2.3). В этом раз­деле, как и в предыдущем, процесс диффузии рассматривается при двух условиях: постоянной поверхностной концентрации диффузанта и постоянном общем числе атомов диффузанта.

Постоянная поверхностная концентрация. Уравнение (2.3) представляет собой одномерное уравнение диффузии с коэффи­циентом диффузии, зависящим от концентрации диффузанта. В тех случаях, когда D зависит только от концентрации диффу­занта С и поверхностная концентрация поддерживается на по­стоянном уровне, уравнение (2.3) может быть преобразовано в обычное дифференциальное уравнение [2] с новой переменной η.

где

η= (2.14)

Таким образом, как D, так и С зависят явным образом толь­ко от х. После замены переменной на η из уравнения (2.3) можно получить уравнение с

D(C)= (2.15)

Уравнение (2.15) относится к бесконечной системе. Для того чтобы определить концентрационную зависимость коэффициен­та диффузии из уравнения (2,15), сначала необходимо графиче­ски отобразить измеренный профиль концентрации как зависи­мость концентрации (или нормализованной величины концент­рации) от значения η.

Рисунок 2.3 - Координаты диффузионного распределения для анализа по Больцыану — Матано при коэффициенте диффузии, зависящей от концентрации, D(C) для случая постоянной поверхностной концентрации.

Начало координат выбрано таким образом, что площадь под кривой, соответствующей профилю концентрации, слева равняется площади под продол­жением кривой справа от начала координат. Теперь концентрационно-зависимый коэффициент диффузии может быть опреде­лен численным интегрированием и путем расчета наклона dC/d для каждой величины во всем диапазоне, где коэффициент диффузии не остается постоянным.

или

Слева от начала координат величина принимает отрицатель­ные значения. Экспериментально условие, когда С функцио­нально зависит только от , может быть проконтролировано путем построения зависимости х от (t)^1/2 для данного значения концентрации. В случае соответствия график будет выглядеть в виде прямой линии. Представленный выше способ обработки результатов называется преобразованием Больцмана. Матано использовал этот метод для изучения процессов взаимной диф­фузии сплавов через межфазную границу двух металлов. Поэтому указанный метод также называют анализом Больцмана — Матано.

Диффузия из ограниченного источника. Уравнение (2.15) подразумевает, что концентрация диффузанта на большом рас­стоянии влево от точки | = 0 (рисунок 2.3) остается неизменной во время протекания диффузионного процесса, В большинстве спо­собов формирования полупроводниковых приборов диффузия осуществляется после введения примеси в кремний, поэтому уравнение (2.15) не может быть использовано для определения концентрационной зависимости коэффициента диффузии из экс­периментально измеренных профилей концентрации. Например, уравнение (2.15) неприменимо к описанию процессов диффузи­онного перераспределения примеси из предварительно осажден­ных диффузионных слоев с высокой концентрацией примеси или ионно-имплантированных слоев с высокой дозой имплантирован­ных ионов. В таких случаях приходится отказываться от условия постоянной поверхностной концентрации примеси и заменять его требованием неизменности общего количества диффузанта во время диффузии, т. е. условием диффузии из ограниченного источника [1]. Это условие можно записать следующим обра­зом:

S= (2.16)

где S — общее число атомов диффузанта на единицу площади в диффузном слое, которое не зависит от времени диффузии. Уравнение (2.16) было применено для описания процесса диф­фузионного перераспределения мышьяка из ионно-имплантиро­ванных слоев [1]. Выражение для определения коэффициента диффузии по измеренному профилю концентрации записывается следующим образом:

D{C( (2.17)

где C_s — поверхностная концентрация примеси, — положение, в котором определяется значение D, a (dC/dx)_x= —градиент концентрации в точке х= .

Для диффузии в окислительной атмосфере, полагая, что скорость окисления является линейной функцией времени диф­фузии, уравнение (2.17) можно записать в виде

D{C( (2.17а)

где d —толщина окисла, которая равняется 2vt, a v — скорость перемещения в глубь подложки окисленной поверхности крем­ния. Так как уравнение (2.17а) получено в предположении по­стоянного общего числа атомов диффузанта, в тех случаях, ког­да примесные атомы захватываются окисным слоем, это пред­положение нарушается. Например, для процесса диффузионно­го перераспределения бора в окислительной атмосфере общее количество бора в кремнии не остается постоянным и следовательно, невозможно использовать для расчета урав­нение (.17 а).