1. Определение перемещений методом Мора. Вычисление интеграла Мора методом перемножения эпюр

Расчет статически неопределимых конструкций требует вычисления перемещений их сечений.

Универсальным способом определения перемещений является энергетический. В применении к балкам и плоским рамам этот метод приводится

Рисунок 12. Расчетные схемы

статически неопределимых балок к задаче № 7

к вычислению интеграла Мора:

,

где  - искомое перемещение (линейное перемещение или угол поворота);

l_i - длина участка балки или рамы;

E_iJ_i - изгибная жесткость этого участка;

М_pi - изгибающий момент от внешней нагрузки в произвольном сечении на участке l_i;

- изгибающий момент от единичной нагрузки в том же сечении;

n - число участков l_i , на которые разбивается данная балка или рама.

Для определения перемещения по формуле Мора необходимо:

1) рассмотреть так называемое грузовое (заданное) состояние конструкции, записав выражения для вычисления внутренних усилий, действующих в произвольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от действия внешних нагрузок;

2) рассмотреть единичное состояние, для чего снять с конструкции все действующие на нее нагрузки и приложить в сечении, перемещение которого определяется, по заданному направлению единичную силу (при определении линейного перемещения) или единичный момент ( при вычислении углового перемещения);

3) записать выражения для изгибающих моментов, действующих в произвольно выбранном поперечном сечении каждого стержня от единичной нагрузки;

4) составить интеграл Мора и после интегрирования по участкам всей конструкции вычислить искомое перемещение.

Если искомое перемещение получилось отрицательным, то это означает, что действительное перемещение противоположно принятому направлению единичной нагрузки.

Интеграл Мора можно вычислять графоаналитически, если предварительно построены эпюры моментов от заданной и единичной нагрузок.

Расчетная формула в этом случае имеет вид

где - площадь эпюры М_pi от заданной нагрузки на участке l_i;

- ордината эпюры от единичной нагрузки, расположенная под центром тяжести эпюры М_pi на участке l_i.

Этот способ вычисления интеграла Мора называется «перемножением эпюр», или правилом Верещагина.

Метод перемножения эпюр применим для определения перемещений в конструкциях, состоящих из прямолинейных элементов, жесткость которых в пределах отдельных ее участков постоянна.

Для определения перемещений по Верещагину необходимо:

1) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия внешних сил, при изгибе - эпюру изгибающих моментов;

2) построить эпюры внутренних силовых факторов от действия единичной силы (момента), приложенной в сечении, перемещение которого определяется, по заданному направлению (при изгибе - единичную эпюру изгибающих моментов);

3) вычислить искомое перемещение для каждого участка путем умножения площади нелинейной эпюры на ординату линейной эпюры, взятую под центром тяжести нелинейной, и деления результата на жесткость рассматриваемого участка.

Ординаты на эпюре вычисляются из подобия соответствующих треугольников (рис.13).

В тех случаях, когда обе эпюры прямолинейны, можно умножать площадь любой из них на ординату другой под центром тяжести первой.

Если эпюра от внешней нагрузки имеет сложный вид, то рекомендуется ее представить в таком виде, чтобы вычисление ее площади и положения центра тяжести было наиболее простым.

Произведение отрицательно, если эпюры от внешних нагрузок и единичной силы (момента) противоположны по знаку, т.е. расположены по разные стороны от оси стержня. Это означает, что направление перемещения противоположно направлению единичной силы (момента).