8. Выборочное наблюдение

Задача 8.1. Методом случайной выборки производится оценка состояния жилого фонда в городе. Для этого из общего количества жилых домов было обследовано 100 зданий, что составляет 4 % всего жилого фонда. Распределение этих домов по степени износа было следующим (табл. 58):

Таблица 58

Процент износа	до 20	20-50	свыше 50
Число долгов	30	50	20

Определите с вероятностью 0,997 пределы, в которых будет находиться степень износа жилого фонда города.

Задача 8.2. При 20 % - ной выборке ( по способу случайной бесповторной выборки ) данных текущего учета населения города удельный вес жителей в возрасте свыше 60 лет составил 8 % , удельный вес населения в возрасте до 16 лет - 14 %, удельный вес рабочих ( без членов их семей) - 18 %.

Определите с вероятностью 0,954: 1) предельную ошибку выборки удельного веса каждой из групп жителей; 2) пределы (доверительный интервал), в которых будет находиться доля каждой из указанных групп жителей. Общая численность населения города составляет 900 000 жителей.

Задача 8.3. Для определения среднего уровня квалификации рабочих цеха произведено 20 % - ное выборочное обследование по способу случайного бесповторного отбора. Распределение рабочих по тарифному разряду по данным обследования оказалось следующим ( табл. 59 ) :

Таблица 59

Тарифные разряды	1	2	3	4	5	6	всего
Число рабочих	5	10	25	30	16	14	100

Рассчитайте: С вероятностью 0,954 в целом для цеха предельную ошибку среднего тарифного разряда цеха; пределы ( доверительный интервал ), в которых находится средний тарифный разряд рабочих; предельную ошибку доли всех рабочих цеха с тарифным разрядом от 4-го и выше ; доверительный интервал этой доли. Определите, с какой вероятностью могут быть гарантированы пределы (доверительный интервал) 3,54 - 4,14, в которых будет находиться средний разряд всех рабочих цеха.

Задача 8.4. При проведении выборочного наблюдения ставится требование, чтобы для среднего значения изучаемого признака доверительный интервал, который можно гарантировать с вероятностью 0,997, был равен 100 - 140.

Определите необходимый объем выборки, если среднее квадратическое отклонение по данным прошлого выборочного наблюдения равнялось 100.

Задача 8.5. Для определения средней продолжительности телефонных разговоров по городской сети в порядке случайной повторной выборки обследовано 100 телефонных разговоров. При этом было установлено, что среднее квадратическое отклонение по длительности разговора равно 1,4 минуты.

Какова вероятность того, что предельная ошибка средней продолжительности телефонных разговоров не превысит 25 секунд ?

Задача 8.6. С целью изучения длительности горения электроламп проводится выборочное 5 %- ное обследование партии продукции в 10 000 электроламп по способу механического отбора. В результате обследования получено следующее распределение электроламп по длительности горения (табл. 60):

Таблица 60

Группы электроламп по длительности горения , ч	600- 800	800-1000	1000- 1200	1200- 1400	1400- 1600	Итого
Число обследованных электроламп	20	100	110	200	70	500

Определите: 1) предельную ошибку и пределы (доверительный интервал), в которых находится средняя длительность горения электроламп во всей обследованной партии (с вероятностью 0,954); 2 ) вероятность того, что пределы, в которых может быть гарантирована средняя длительность горения электроламп, составляют 1152 - 1208 часов; 3) пределы, в которых находится доля электроламп с длительностью горения не менее 1200 часов (с вероятностью 0.954 ); 4) пределы, в которых находится число электроламп ( во всей партии выпущенной продукции ) с длительностью горения не менее 1200 часов ( с вероятностью 0,997 ) .

Задача 8.7. В порядке пропорционального бесповторного типического 10 %-ного отбора была обследована месячная заработная плата у 700 рабочих цеха. Данные выборки сведены в следующую табл. 61:

Таблица 61

Группы рабочих по стажу работы, лет	Средняя заработная плата, р.	Среднее квадратическое отклонение заработной платы, р.	Число рабочих
До 2	700	70	100
2 - 4	1000	150	200
4 - 6	1200	200	400

Определите с вероятностью 0,997 пределы, в которых будет находиться средняя заработная плата всех рабочих цеха.

Задача 8.8. С целью определения среднего разряда рабочих трех ведущих профессий проводится 10 % - ный пропорциональный типический отбор рабочих этих профессий. Результаты отбора и обработки полученных данных сведены в табл.62.

Таблица 62

Профессия	Число обследованных рабочих	Средний разряд	Среднеквадратическое отклонение	Доля рабочих 5-го и 6-го разрядов
1	50	4,6	1,2	0,30
2	30	5,0	0,8	0,40
3	20	4,2	1,5	0,25

Определите: 1) предельную ошибку среднего разряда рабочих этих 3-х профессий, которую можно гарантировать с вероятностью 0,954; 2) вероятность того, что средний разряд рабочих этих профессий на всем предприятии не выйдет за пределы 4,27 - 4,93 (с вероятностью 0,997) ; 3) пределы, в которых с вероятностью 0,954 находится доля рабочих 5-го и 6-го разрядов; 4) с той же вероятностью пределы, в которых находится число рабочих высшей квалификации (5-го и 6-го разрядов).

Задача 8.9. С целью определения средней длительности горения партии электроламп в 10000 шт., упакованных в ящики по 100 шт., проводится серийная бесповторная 4 %- ная выборка.. Испытания отобранных электроламп дали следующие результаты (табл. 63):

Таблица 63

Показатели	Ящики
Средняя длительность горения электроламп, ч	900	1100	1000	1200
Доля электроламп, длительность горения которых была не менее 1000 ч	0,80	0,90	0,85	0,95

Определите с вероятностью 0,954: 1) предельную ошибку средней длительности горения электроламп во всей обследованной партии; 2) предельную ошибку и доверительный интервал доли электроламп во всей обследованной партии, длительность горения которых не менее 1000 часов.

Задача 8.10. Произведена двухступенчатая бесповторная комбинированная выборка с целью определения средней высоты партии деталей в 10000 шт. Детали упакованы в ящики по 200 деталей в каждом. На первой ступени в случайном порядке было отобрано 20 % всех ящиков, на второй - также в случайном порядке - 5 % деталей из каждого ящика. Средняя из внутрисерийных дисперсий высоты измеряемой детали составила 25 мм, межсерийная дисперсия - 16 мм.

Определите предельную ошибку средней высоты детали, которую можно гарантировать с вероятностью 0,954.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Задача 8.11. Производится выборочная 5 % - ная разработка данных об успеваемости студентов дневного обучения высшего учебного заведения по результатам зимней экзаменационной сессии. По результатам разработки данных (табл. 64) определите с вероятностью 0,954 по вузу в целом: 1) предельную ошибку выборки среднего выборочного балла успеваемости; 2) пределы , в которых находится средний балл успеваемости в целом по вузу.

Таблица 64

Баллы успеваемости	2	3	4	5	Всего
Число студентов	20	50	90	40	200

Задача 8.12. С целью определения среднего стажа работы рабочих предприятия произведена 10 % - ная бесповторная выборка способом типического пропорционального отбора. Результаты обследования следующие ( табл. 65 ):

Таблица 65

Группы рабочих	Группы рабочих по стажу работы, лет						Итого
по полу	до 2	2 - 5	5 - 10	20 - 25	20 - 25	25 и выше
Мужчины	20	80	100	60	30	10	300
Женщины	20	50	80	43	5	2	200
Всего	40	130	180	103	35	12	500

Определите с вероятностью 0,954 для всех рабочих предприятия: 1) предельную ошибку среднего стажа работы всех рабочих; 2) пределы, в которых находится средний стаж их работы; 3) предельную ошибку доли рабочих со стажем до 5 лет; 4) пределы, в которых находится число рабочих со стажем до 5 лет.

Задача 8.13. С целью определения затрат времени на изготовление детали про­изведен хронометраж работы 20 рабочих, отобранных в случайном порядке (каждый десятый рабочий ). По данным выборки получены следующие данные времени изготовления детали , мин : 15, 15, 14, 13, 15, 14, 16, 17, 15, 15, 15, 14, 18, 16, 13, 16, 17, 14, 15, 16.

С вероятностью 0,997 определите доверительный интервал времени изготовления одной детали. Справочные данные сведены в табл. 66 и 67:

Таблица 66

Вероятности F(t) для некоторых значений t

t	F(t)	t	F(t)	t	F(t)	t	F(t)	t	F(t)
0,63	0,471	1,05	0,706	1,28	0,800	1,96	0,950	2,58	0,990
1,00	0,683	1,20	0,770	1,50	0,866	2,00	0,954	2,80	0,995
1,04	0,702	1,25	0,789	1,64	0,899	2,08	0,962	300	0,997

Таблица 67

Некоторые значения S(t) в распределении Стьюдента для n  16 - 25

t	0,1	0,5	0,8	1,0	1,3	1,7	2,0	2,3	2,6	3,0
S(t)	0,539	0,689	0,783	0,835	0,896	0,948	0,970	0,984	0,991	0,997