3.2 Решить уравнение любым способом;

30 вариантов по 3 задания.

Цель: сформировать навыки решения тригонометрических уравнений

Вариант 1

1. Sin2x = sinx

2. 2 - 5sinx +2 =0

3. 2 x-sinx-1=0

Вариант 2

1. Cos4x = sin2x

2. - 2 x-1=0

3. 

Вариант 3

1. Cosx+sinx=1

2. 2 x+5sinx-4=0

3. Cosx-3sinx=0

Вариант 4

1. x= x

2. 2ctgx =5

3. cosx - sinx = cos3x

Вариант 5

1)Sinx - 2 x-1=0

2)5sinx-3sin2x=0

3) =0

Вариант 6

1. 2tgx+3ctg=4

2. Sin7x-sinx=0

3. Cos2x+cos7x=2

Вариант 7

1. Cos x*cos2x = cos3x

2. Sin x- cosx=0

3. Sin3x =

Вариант 8

1. + 3x=1

2. - x=0

3. ) =

Вариант 9

1. Sinx + cosx=0

2. 

3. 3tgx-2ctgx=1

Вариант 10

1. 1+Sin3x = (

2. 

3. cosx+4=0

Вариант 11

1. Sinx+sin3x=sin2x

2. Sin3x*cos3x= -

3. Sin2x+sinx=0

Вариант 12

1. x+

2. Sin2x*cos (x-

3. (2sinx+1) * =0

Вариант 13

1. 3 x-sin2x=

2. 2

3. 

Вариант 14

1. Cos2x= 2(cos x –sin x)

2. Cos2x+5cosx=0

3. 

Вариант 15

1. 

2. 4+5cosx-2

3. cos

Вариант 16

1. 4sinx*cosx*cos2x=1

2. 3tgx-3ctgx=8

3. 2

Вариант 17

1. Sinx*cos(x+

2. 7cosx-4sin2x=0

3. Cos

Вариант 18

1. 2

2. Sinx-cosx=0

3. 3cosx+sinx=0

Вариант 19

1. Cos2x+5sinx+2=0

2. sinxcosx+

3. 

Вариант 20

1. 2

2. Cos5x+cosx=0

3. 

Вариант 21

1. Tgx+2ctgx=3

2. 

3. Cos2x+cos5x=-2

Вариант 22

1. 3cos2x-2sin2x=0

2. Cos3x=

3. Cos4x=

Вариант 23

1. 

2. Tg(x+

3. Tg(x+

Вариант 24

1. Sinx*cosx+

2. 3tgx+2ctgx=5

3. 4tgx+3ctgx=7

Вариант 25

1. Cos2x+4

2. Cos2x-4

Вариант 26

1. 4

2. Sin2x-cosx=0

3. Sin2x+2cosx=0

Вариант 27

1. 

2. 

3. (2cos+

Вариант 28

1) Sin3x*cos(x+

1. 

2. 

Вариант 29

1. 

2. 

3. 

Вариант 30

2. Sin

3. Sin2x = sinx

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.

Тема 1.4: «Функции, их свойства и графики».

ЗаданиеI. Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы, прочитайте еще раз конспект, методические указания, литературу:

(Составьте краткий конспект)

1.Богомолов Н.В. Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов. П.И. Самойленко,-3-е изд.,стереотип.-М.:Дрофа,2005.-395,(5)с.: ил.

2.Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.-3-е изд., перераб. И доп.-М. : Высш.шк.,1990.-445 с.: ил.

3. Богомолов Н.В.Сборник задач по математике: : учеб. пособие для ссузов,-2-е изд.,испр.- М.:Дрофа,2005.-204.

Теоретические сведения по теме: «Функции, их свойства и графики».

1. Функции. Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х, соответствует определенное значение у.

Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства у=f (х), где f означает совокупность действий, которые надо произвести над х, чтобы получить у.

Числовое значение функции, соответствующее данному числовому значению аргумента, называется частным значением этой функции. Например, функция у=f (х) при х=а принимает значение у= f(а).

Областью определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Например, для функции y = x областью определения является множество всех действительных чисел R; для функции областью определения является множество R кроме . Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции y, которые она может принимать.

Например, множеством значений функции является множество R, множеством значений функции является множество действительных чисел, больших или равных 1. Для задания функции необходимо и достаточно задать закон соответствия, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и её область определения. Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим способом.

ПРИМЕР. Найти область определения функции: 1) ; 2) .

РЕШЕНИЕ. 1) областью определения данной функции является общая часть областей определения каждого из слагаемых. Для первого слагаемого , для второго . Областью определения функции служит промежуток .

2) Функция определена для всех значений , удовлетворяющих неравенству . Таким образом,

На рисунке показаны области определения данной функции.

2. Четные и нечетные функции. Функция у=f (х) называется четной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е. f (-х)= f (х). Например, парабола является четной функцией, так как . График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция у=f (х) называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. f (-х)= f (х). Например, функция - нечетная, так как . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция не является ни четной, ни нечетной:

.

ПРИМЕР

Исследовать на четность и нечетность функцию: 1) ;

2) 3) , определенную на всей числовой оси.

РЕШЕНИЕ

Подставляем на место аргумента .

1. - функция четная;

2. – функция нечетная;

3. - функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Возрастающие и убывающие функции. Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими.

Функция у = (х ) называется возрастающей в промежутке , если для любых x₁ и x_2, принадлежащих этому промежутку, при имеет место неравенство .

Функция у = (х) называется убывающей в промежутке , если для любых x₁ и x_2, принадлежащих этому промежутку, при имеет место неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Например, функция при монотонно убывает, а при монотонно возрастает. Функция на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция на всей числовой оси монотонно убывает.

4. Обратная функция. Если функция у = (х) принимает каждое своё значение только при единственном значении x, то такую функцию называют обратимой.

Например, функция является обратимой, так как каждое значение y принимается при единственном значении аргумента x. Напротив, функция не является обратимой, поскольку, например, значение она принимает и при , и при .

Пусть у = (х) - обратимая функция. Это означает, что каждому y из множества значений функции соответствует одно определенное число x из области ее определения такое, что (х)=y. Решив это уравнение относительно x, получим уравнение , в котором y является аргументом, а x – функцией этого аргумента. Поменяв местами в соответствии с принятыми обозначениями x и y, получим .

Функция называется обратной к функции у= (х).

Областью определения обратной функции является множество значений исходной функции, а множеством значений обратной функции является область определения исходной функции.

Задание II.

Ответьте на контрольные вопросы (письменно):

1.Сформулируйте определение функции.

2.Что называется областью определения функции?

3. Что называется областью изменения функции?

4.Какими способами может быть задана функция?

5.Как находится область определения функции?

6.Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

7.Какие функции называются нечетными и как они исследуются на нечетность?

8.Приведите примеры функций, которые не являются ни четными, ни нечетными.

9.Какие функции называются возрастающими? Приведите примеры.

10. Какие функции называются убывающими? Приведите примеры.

11. Какие функции называются обратными?

12.Как расположены графики прямой и обратной функции?

ЗаданиеIII.

Постройте графики и исследуйте функции:

1. D(y)-область определения;

2. E(y)-множество её значений;

3. Проверить на чётность (нечётность);

4. Найти промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства;

5. Определить точки пересечения с осями координат и другие характерные точки. 13

Пример.

Задание III.

Построить график функции: у=х²+2;

Исследовать функцию:

1.D(y)-область определения;

2.E(y)-множество её значений;

3.Проверить на чётность (нечётность);

4.Найти промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства;

5.Определить точки пересечения с осями координат и другие характерные точки

График функции: у=х²+2

14.

1.D(y)-область определения-( );

2.E(y)-множество её значений(2, ) ;

3. Проверка на чётность.

Подставляем на место аргумента (-х)

(-х²)+2=(х²)+2 – функция четная;

4.От минус бесконечности до ноля функция убывает, от ноля до плюс бесконечности возрастает.

5.Точка пересечения с осью координат: (0,2)

Вариант №1.

1)

2)

Вариант №2

1)

2)

Вариант №3

₁₎

2)

Вариант №4

1)

2)

Вариант №5

1)

2)

Вариант №6

1)

2)

Вариант №7

1)

2)

Вариант №8

1)

2)

Вариант №9

1)

2)

Вариант №10

1)

2)

Вариант №11

1)

2)

Вариант №12

1)

2)

Вариант №13

1)

2)

Вариант №14

1)

2)

Вариант №15

1)

2)

Вариант №16

1)

2)

Вариант №17

1)

2)

Вариант №18

1)

2)

Вариант №19

1)

2)

Вариант №20

1)

2)

Вариант №21

1)

2)

Вариант №22

1)

2)

Вариант №23

1)

2)

Вариант №24

1)

2)

Вариант №25

1)

2)

Вариант №26

1)

2)

Вариант №27

1)

2)

Вариант №28

1)

2)

Вариант №29

1)

2)

Вариант №30

1)

2)

ЗаданиеIV.

Проведите анализ выполненной работы.