Методичні вказівки
Порядок рішення задачі наступний:
1. Визначення нормалізованих значень приватних критеріїв по формулі ,
2. Обчислення узагальненого критерію ефективності за формулою
У реальних системах управління задачу оптимізації доводиться вирішувати з урахуванням декількох критеріїв ефективності одночасно. У загальному випадку завдання багатокритеріальної (векторною) оптимізації ставиться таким чином.
Є безліч X різних (альтернативних) варіантів рішення задачі управління. Варіант рішення - це конкретне значення вектора параметрів управління, тобто конкретний варіант плану виробництва, або варіант завантаження устаткування, або варіант стратегії управління і тому подібне
Кожен варіант вирішення х € Х оцінюється вектором критеріїв
Очевидно варіант Х° є строго оптимальним, якщо
де yiext - мінімальне або максимальне значення критерію yi, залежно від вимог оптимізації.
Проте в реальних системах існування строге оптимального вирішення У° маловірогідно, а часто і неможливо із-за суперечності взаємозв'язаних критеріїв. Наприклад, при зростанні обсягів виробництва росте і витрата ресурсів, хоча об'єм треба максимізувати, а ресурси мінімізувати.
Практичний інтерес представляє пошук існуючих варіантів, близьких до оптимального. Такими варіантами є так звані варіанти Парето-оптимальні, складові безліч Pмx •
Варіант x*о Р якщо значення приватного критерію yi(x*) для будь-якого i, можна поліпшити лише за рахунок погіршення інших приватних критеріїв. Іншими словами, варіант X оптимальний по Парето, якщо не знайдеться жодного іншого варіанту X'€х, такого, для якого
причому хоч би для одного i виконується
Тут і далі передбачається, що всі приватні критерії треба мінімізувати.
Для пошуку Х Про Р використовується два підходи:
векторний критерій У перетворить (згортають) в узагальнений скалярний критерій Yc а потім застосовують відомі однокритеріальні методи оптимізації (лінійне, нелінійне, стохастичне програмування і тому подібне);
застосовують спеціальні методи багатокритеріальної оптимізації безпосередньо по векторному критерію У.
Розглянемо деякі способи згортки. Найбільш простий спосіб - зважене лінійне підсумовування приватних критеріїв .
Якщо один з приватних критеріїв набагато важливіше за останніх, для яких відомі їх гранично допустимі значення b i, то оптимізація проводиться по найбільш важливому (головному) критерію Ус=yi а для решти критеріїв встановлюються обмеження:
Якщо вдалося упорядкувати всі приватні критерії по важливості, але не вдалося визначити їх вагу а і граничні значення b, то можна спробувати використовувати метод послідовних поступок. У цьому методі на першому кроці проводиться пошук X1*, оптимального по найважливішому критерію y1 . Решта критеріїв при цьому ігнорується. На 2-му кроці виконується пошук Х*2, оптимального по критерію y2 а на погіршення критерію y1 накладається обмеження
де D1 - поступка, що характеризує допустиме відхилення y1 від його мінімального значення, знайденого на 1-му кроці.
Для простоти передбачається, що всі критерії треба мінімізувати.
На t, -му кроці відшукується Xt*, для якого
Наконец, на n. -ом шаге отыскивается X*=Xn, для которого
Ще один спосіб згортки - вибір як узагальнений скалярний критерій евклідова відстані аналізованого варіанту X до строго оптимального (ідеального) варіанту Х°. Сам варіант X0 може не існувати, але оскільки вимірювання відстані виконується в критерійному просторі, то мають бути відомі екстремальні значення цих критеріїв.
Згортка в цьому випадку має вигляд
Зауваження I. Для оптимізації по У з, (зважене підсумовування, евклідово відстань ) або для покрокової оптимізації по приватних критеріях (методи головного критерію і послідовник них поступок) необхідно обчислювати значення приватних критеріїв
По суті необхідно вирішувати завдання прогнозу і оптимізації по кожному yi і по вус для чого використовуються відомі моделі і методи оптимізації.