2. Определенный интеграл

2.1. Вычислить определенный интеграл

2.1.1) ; 2.1.2) ; 2.1.3) ;

2.1.4) ; 2.1.5) ; 2.1.6) ;

2.1.7) ; 2.1.8) ; 2.1.9) ;

2.1.10) .

3. Геометрические приложения

3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

3.1.1) y=4-x² , y=0 ; 3.1.2) y=x² , y=2x ;

3.1.3) y=2x-x² , y=0; 3.1.4) y=3-2x-x² , y=0;

3.1.5) y=lnx , x=e , y=0 .

3.2. Вычислить объем тела вращения

3.2.1.) Вращаем на [1; 5] вокруг Oy, Ox.

3.2.2.) Вращаем на [2; 3] вокруг Ox, Oy.

Применение интеграла в экономике

1. Найти излишек потребителя, если кривая спроса задана уравнением P=40-4Q², а равновесное количество товара Q₀ равно 2.

2. Определить добавочную выгоду производителя PS, если кривая предложения имеет вид P=10+8Q³, а точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара Q₀=5.

3. Заданы чистые инвестиции I(t)=10000 . Определить приращение капитала за 5 лет.

4. Функция, задающая инвестиции остается прежней (см. условие задачи 3). Через сколько лет приращение составит 80000?

5. Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 200 ед. в течение 5 лет, а процентная ставка равна 3.

6. Предельные издержки описываются формулой . Записать формулу издержек, зная, что постоянные издержки равны 80.

7. Записать вид экономической функции, если её предельный величина описывается формулой .

8. Найти излишек потребителя, если кривая спроса задана уравнением P=1000-10Q⁴, а равновесное количество товара Q₀=3.

9. Определить добавочную выгоду производителя, если кривая предложения имеет вид P=40Q³+80, а точка равновесия между спросом и предложением достигается при количестве товара Q₀=100.

10. Чистые инвестиции заданы формулой . Определить приращение капитала за 4 года.

11. - функция, задающая инвестиции. Через сколько лет приращение составит 2000?

12. Вычислить начальный вклад P, если выплаты должны составлять 300 ед. в течение 2 лет, а процентная ставка равна 5.

Дополнительные задания для самостоятельного решения

1. Найти неопределенный интеграл.

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б)

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б)

2. Найти площадь фигуры, образованной линиями:

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

3. Матрицы и определители.

3.1. Определение матрицы

1. Матрицей называется прямоугольная таблица элементов. Обозначаются матрицы заглавными латинскими буквами.

,

m x n – размер матрицы.

m = n – матрица – квадратная.

Квадратная матрица, имеющая единицы по главной диагонали и остальные элементы, равные нулю, называется единичной и обозначается буквой E или I.

Матрица может иметь только одну строку (матрица-строка) или только один столбец (матрица-столбец).

Вектор – столбец m x 1

Вектор – строка 1 x n

Операция, при которой меняются местами строки и столбцы A с сохранением порядка элементов называется транспонированием.

;

;

Для симметричных матриц

Две матрицы, имеющие одинаковые размеры называются равными тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы.