2.3. Определенный интеграл

2.3.1. Геометрический смысл определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции АВСD, ограниченной линиями х = а,

х = b, у = 0 находится как: , где — определенный интеграл,

а и b есть границы интегрирования.

Определенный интеграл находят с помощью формулы Ньютона— Лейбница:

, где F – первообразная для f(x).

2.3.2. Свойства определенного интеграла.

1. , где с = const

2.

3.

4.

2.3.3. Замена переменной.

, , , .

2.3.4. Площади между кривыми.

Рассмотрим фигуру, представляющую собой множество то­чек, ограниченных линиями: х=а, х=b, у = f₁(х), у=f₂(x) (a<b, )

Тогда площади заштрихованной фигуры вычисляется по формуле:

(1)

Пример 1. . Введем новую переменную t=2x. Тогда dt = d2x = 2dx. Следовательно, . Найдём пределы интегрирования для переменной t, т.к. , следовательно, . Таким образом:

Пример 2. Вычислим площадь фигуры, ограниченной ли­ниями: у = х², у²=х.

Вначале схематически построим графики указанных линий.

Нам необходимо найти площадь заштрихованной фигуры. Найдём абсциссы точек пересечения указанных линий.

Для этого необходимо решить систему уравнений:

Из последнего уравнения находим абсциссы точек пересечения:

Найдем указанную площадь, воспользовавшись формулой (1)

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­ниями: у²= 2х +1,

х - у -1= 0.

Построим схематически графики указанных линий.

Нам необходимо найти площадь заштрихованной фигуры. Найдем точки пересечения этих линий. Решим систему:

S = S_ABO + S_ACD + S_BOC = S_ACD + 2S_BOC =

Задания для самостоятельного решения

1. Неопределенный интеграл.

1.1. Найти неопределенный интеграл (интегрирование по свойствам и по таблице интегралов).

1.1.1) ; 1.1.2) ;

1.1.3) ; 1.1.4) ;

1.1.5) ; 1.1.6) ;

1.1.7) ; 1.1.8) ;

1.11.3) ; 1.14) ;

1.1.15) ; 1.1.16) ;

1.1.17) ; 1.1.18) ;

1.1.19) ; 1.1.20) ;

1.1.21)

1.2. Найти неопределенный интеграл (замена переменной и подстановка)

1.2.1) ; 1.2.2) ; 1.2.3)

1.2.4) ; 1.2.5) ; 1.2.6) ;

1.2.7) ; 1.2.8) ; 1.2.9) ;

1.2.10) ; 1.2.11) ;

Указание: в примерах 1.2.10 – 1.2.11 используется формула: (если числитель дроби есть производная от знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя).

1.2.12) ; 1.2.13) ; 1.2.14) ;

1.2.15) ; 1.2.16) ; 1.2.17) ;

1.2.18) ; 1.2.19) ; 1.2.20) ;

1.2.21) ; 1.2.22) ;

1.3. Найти неопределенный интеграл (интегрирование по частям).

1.3.1) ; 1.3.2) ; 1.3.3)

1.3.4) ; 1.3.5) ; 1.3.6)

1.3.7) ; 1.3.8) ; 1.3.9)

1.3.10) ; 1.3.11) ;

1.4. Найти неопределенный интеграл (табличные интегралы вида:

; ; и к ним приводящиеся).

1.4.1) ; 1.4.2) ; 1.4.3) ;

1.4.4) ; 1.4.5) ; 1.4.6) ;

1.4.7) ; 1.4.8) ; 1.4.9) ;

1.4.10) ; 1.4.11) ; 4.12) ;

1.4.13) ; 1.4.14) ; 1.4.15) ;

1.4.16) ; 1.4.17) ; 1.4.18) ;

Указание: в примерах 1.4.17, 1.4.18 из подынтегральной неправильной дроби выделить целое выражение.

1.4.19) ; 1.4.20) ; 1.4.21) ;

1.4.22) ; 1.4.23) ; 1.4.24) ;

1.4.25) ;

Указание: в примерах 1.4.19-1.4.25 из квадратичного трехчлена выделить полный квадрат.