Задания для самостоятельного решения Частные производные

1. Найти все частные производные до второго порядка от функций u = :

1) x - xy + x/y; 2) ln xy + xe ; 3) x + y cos x; 4) a - y ; 5) xyz.

2. Найти дифференциалы функций u = :

1. x y - в точке (x;y) = (1;10) при dx = dy = 0,1;

2. lg xy в точке (x;y) = (10;20) при dx = 0,1 ln 10; dy = 0,2 ln 10.

3. Найти все возможные частные производные функции .

4. Используя правило дифференцирования неявно заданной функции, найти , если

1) ; 2) .

5. Построить линии уровня функции u = x - y при u = 0; 1; 4.

Частные производные в экономике

1. Для функции спроса Q = 70 – 10 ln P + 2,5 + 0,1Y (Р – цена товара, Р - альтернативная цена, Y – доход потребителя) найти при Р = е, Р = 16, Y = 100:

а) эластичность спроса от цены; б) перекрестный коэффициент эластичности; в) эластичность спроса от дохода.

2. Известно, что функция спроса Q = P P Y (Р – цена товара, Р - альтернативная цена, Y – доход потребителя) проходит через точку М с координатами (Р; Р ; Y) = (16;81;4). В этой точке найти:

1) коэффициенты эластичности спроса от цены, альтернативной цены и от дохода.

2) записать выражение для поверхности уровня.

3) цену товара, если при неизменной альтернативной цене доход потребителя удвоится?

4) цену товара, если при неизменном доходе альтернативная цена уменьшится на 30%?

3. Функция спроса Q от цены Р и альтернативной цены Р при неизменном доходе описывается формулой Q = 25 .

1) записать уравнение линии уровня в точке (Р;Р ) = (32;32 ).

2) определить величину спроса при условии, что цена Р увеличится, а альтернативная цена одновременно уменьшится на 25%.

4. Построить линии уровня (кривые безразличия) для функции полезности

u = 4 , если x₀ = 1, а y₀ принимает значения: 8; 1; 1/8; 1/64?

Определить предельные полезности в этих точках.

5. Производственная функция задана в виде Q = 8 (функция Кобба-Дугласа).

1) Определить предельные продукты капитала К и труда L.

2) Построить кривые безразличия при Q = 8; 1; и 1/8.

3) При Q = 8 найти коэффициенты заменяемости в точках,

где К = 8; 1; 1/8.

1.6. Экстремумы Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум Справочный материал.

1. Точка М (х_о, у_о) называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

.

2. Если в точке максимума или минимума обе частные производные существуют и непрерывны, то они равны нулю в этой точке (необходимое условие экстремума).

3. Если в точке (х_о, у_о) обе частные производные обращаются в нуль, то характер этой точки определяется величиной , где , , .

При  > 0 имеется экстремум (максимум при А<0 и минимум при А>0).

При  < 0 функция в данной точке не имеет экстремума.

При  = 0 вопрос о наличии экстремума остается открытым (достаточное условие экстремума).

4. Наибольшее (наименьшее) значение функции (глобальный максимум (минимум)) определяется как наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области из ее значений в критических точках внутри области и на ее границе.

5. Точка М (х_о, у_о) называется точкой условного максимума (минимума) функции , при условии g(x, у) = С, если существует такая окрестность этой точки, что во всех точках (х, у) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x, у) = С, выполняется неравенств

.

Уравнение g (x, y) = С называется уравнением связи.