Свойства решений системы линейных однородных уравнений.

1. Если строка -решение системы, то и строка -также решение этой системы.

2. Если строки и -решения системы (2), то при и их линейная комбинация -так же решение этой системы.

Из свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Определение. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .

Теорема: Если ранг матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (2) состоит из n-r решений.

Поэтому общее решение системы (2) линейных однородных уравнений имеет вид:

,

где - любая фундаментальная система решений, -произвольные числа, .

Пример решения задач.

Пример. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Такая система совместна всегда, так как имеет тривиальное решение (0; 0; 0; 0; 0).

Решение.

система имеет множество решений.

система имеет три свободные переменные

- базисные переменные, , , - свободные переменные

Условия для нахождения фундаментальных решений:

Данные строки - , , (векторы) – образуют фундаментальную систему решений данной системы линейных однородных алгебраических уравнений.

5. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

5.1. Расчетная работа № 1.

Обработка экспериментальных данных

методом наименьших квадратов

Основные положения

При обработке данных экспериментов возникает необходимость определения закономерности их изменения:

- представление в виде какой-либо функциональной зависимости с целью исследования и прогнозирования характера и протекания процесса;

Из методов построения эмпирической прямой наиболее обоснован и распространён метод наименьших квадратов, заключающийся в следующем:

- из множества функциональных зависимостей определённого вида выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от теоретических (вычислительных) является наименьшей. Впервые этот метод предложил Гаусс.

Отправной точкой обработки данных является выбор вида функциональной зависимости.

Пусть данные опыта представляют собой некоторое кол-во n-точек с координатами (x_i;y_i), (i= 1; 2; …; n)

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Если в таблице участвуют две величины, то получают зависимость в видефункции одной переменной y(x) или x(y).

У

y

добно изображать эти процессы графически

Можно этот набор точек попытаться описать прямой типа (y=ax+b), можно считать, что это часть параболы (y=ax2+bx+c), степенно-показательной (y=be^ax) или обобщённо-степенной (y=b^xa) функции.

Согласно методу наименьших квадратов, параметры функции f(x) следует выбирать так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей, а значит минимизировались отклонения статистических данных от теоретических.

Этот метод постоянно используется в статистике, эконометрике, в финансовой математике и т.д.

Часто такой метод называют получением уравнений регрессии методом наименьших квадратов по сущности вычислительной процедуры. Это классическая задача дифференциального исчисления.

Рассмотрим применение данного метода для получения эмпирических формул на примере линейной функции y=ax+b

Пусть принято решение искать эмпирическую формулу в виде линейной функции.

О чевидно, что в искомом уравнении линейной функции y=ax+b неизвестными являются коэффициенты a и b, при этом их значение должно обеспечить минимальное суммарное отклонение экспериментальных данных от теоретических, т.е. обеспечить прохождение прямой наиболее близко ко всем экспериментальным точкам. Данная цель достигается при минимальной величине суммы квадратов отклонений.

При этом a и b являются переменными.

Определим функцию

Для нахождения экстремума функции 2-х переменных необходимо найти частные производные данной функции по каждой переменной, приравнять их к нулю, и решив полученную систему двух уравнений, определить критические значения a и b.

После преобразований получим следующую систему

Найденные значения a и b соответствуют min функции S .

Расчет значений известных величин, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Подставляя найденные значения коэффициентов при a и b в систему уравнений, получаем значения неизвестных a и b. Таким образом эмпирическая формула будет найдена.

Графиком её является прямая, проходящая наиболее близко ко всем экспериментальным точкам.

Рассмотрим функцию вида у=bx^a (обобщенно-степенная функция)

Прологарифмируем её.

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Рассмотрим функцию вида у=be^ax (степенно-показательная функция)

Прологарифмируем её:

Теперь линейное уравнение рассмотрим не для табличных значений, а для их логарифмов:

Расчет значений, входящих в уравнения системы, удобно вести с помощью таблиц.

Выберем наиболее подходящую функцию

Протабулируем данные:

Найдем соответствующее отклонение от заданных точек:

Сравнив отклонения, можно сделать вывод, какая функция лучше подходит.