Система линейных уравнений с n переменными

r<m уравнения системы зависимые

r=m уравнения системы независимые

r(А)≠r(А1) система несовместная

r(А)=r(А1)=r система совместная

r<n r=n

система неопред. система опред.

(множество решений) (единственное решение)

Пусть r<n. r переменных х₁, х₂, ... , х_r называются основными (базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор) отличен от нуля.

Остальные n-r называются неосновными (свободными).

Решение системы в которой все n-r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m<n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где r≤m

Приведенная схема не означает, что для решения системы в общем случае необходимо вычислять отдельно, а затем сравнивать r(A) и r(А₁). Достаточно сразу применить метод Гаусса.

Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными (m<n) называется всякое её решение, в котором неосновные переменные имеют нулевые значения.

Пример. Найти все базисные решения системы.

Решение.

и – базисные переменные, так как определитель матрицы, состоящей из коэффициентов перед этими переменными не равен нулю: базисный минор.

система имеет две свободные переменные.

Пусть = , = , , , – бесконечное множество решений системы.

и – базисные переменные

и – свободные переменные

количество базисных решений не может превышать 6.

и – базисные переменные, и – свободные переменные

и - базисные переменные, и - свободные переменные

и – базисные переменные, и – свободные переменные

и – базисные переменные, и – свободные переменные

и – не являются базисными переменными, так как определитель равен нулю

и – базисные переменные, и – свободные переменные

1. Первое базисное решение системы:

- первое базисное решение

2. Второе базисное решение системы:

- второе базисное решение

3. Третье базисное решение системы:

- третье базисное решение

4. Четвертое базисное решение системы:

- четвертое базисное решение

5. Пятое базисное решение системы:

- пятое базисное решение

4.3. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю.

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0;0;…;0).

Если в системе (2) m=n, а её определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера.

Ненулевые решения, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или, когда m=n, но определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. .

Обозначим решение системы

,

в виде строки .