4.1.1. Метод определителей (формула Крамера)

Пусть система

имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое по формулам Крамера записывается:

, , … , ,

где – определитель матрицы коэффициентов системы А, а , , … , – определители замещения, которые получаются, когда в матрице А столбец, содержащий соответствующую переменную, заменяется столбцом свободных членов.

Пример.

Решение.

, ,

Проверка

Метод определителей позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что .

4.1.2. Матричный метод (математический метод, метод обратной матрицы)

Пусть система

Имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое представляется в следующем виде:

Матричный метод позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что .

Пример.

Решение.

4.1.3. Метод Гаусса (универсальный метод)

Метод Гаусса позволяет решать системы не только с квадратной, но и с прямоугольной матрицей коэффициентов, а также позволяет решать системы, когда определитель матрицы . Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

• Перестановка уравнений в системе;

• Умножение любого уравнения на любое число, отличное от нуля;

• Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

• Отбрасывание уравнений, в которых все коэффициенты и свободный член равны нулю.

Цель преобразований:

Свести матрицу к ступенчатому виду и последовательно, методом обратного хода, начиная с последней строки записать решение системы.

Метод Жордана – Гаусса:

Свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

Пример 1.

Решение (метод Гаусса):

Метод Жордана – Гаусса:

+

+

+

Пример 2.

Решение (Метод Гаусса):

Метод Жордана – Гаусса:

4.2. Система m линейных уравнений с n переменными.

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно зависимых строк.

е=λ₁е₁+ λ₂е₂ +...+ λ_sе_s –строка е является линейной комбинацией строк

е₁,е₂ ...е_s – линейно зависимы, если λ₁е₁+ λ₂е₂ +...+ λ_mе_m=0

λ_m≠0 0=(0 0 …0)

λ₁е₁+ λ₂е₂ +...+ λ_mе_m=0

λ_i=0

λ₁=λ₂=...=λ_m=0 => е₁, е₂, ... е_m- линейно независимы

Поэтому, если строки расширенной матрицы А₁, то есть уравнения системы, линейно независимы, то ранг матрицы А₁ равен числу её уравнений, то есть r=m, если линейно зависимы, то r<m

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1.Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то есть r=n, то система имеет единственное решение.

2.Если r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений