1. Элементарные функции

Линейная функция y=kx+b

Рассмотрим частные случаи.

Если k=0, имеем у=b. Значение у не зависит от х

и при любом значении х принимает постоянное значение b. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точ­ке у = b (рис. 1.1).

Если b = 0 и k ≠ 0 , имеем у = kx. Такую функцию называют прямой пропорциональной зависимостью. Ее графиком является прямая, проходящая через начало координатной плоскости — точку О (рис. 1.2). Число k называют угловым коэффициентом прямой, который определяет тангенс угла ее наклона к поло­жительной полуоси абсцисс (k = tga). Если k >0 угол α острый, и функция возрастает на всей области определения; при k <0 угол α тупой, функция убывает. Для построения графика используют точку О (0; 0) и любую точку прямой М (х; kx), через которые проводят прямую линию.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Графиком функции у = kx + b (рис. 1.2) является прямая, полученная параллельным переносом прямой у = kx на |b| единиц вдоль оси ординат вверх, если b > 0, или вниз, при b < 0.

Для построения графика достаточно найти любые две точки прямой, через которые и проводят линию.

Рис. 1.3

Замечание. Легко построить график линейной функции, если уравнение прямой задано в виде (говорят: «уравнение в отрезках»), где числа а и b определяют точки пересечения прямой с осью абс­цисс и ординат соответственно (рис. 1.3).

Пример 1.1. Построить график функции у=2х+6.

РЕШЕНИЕ: График этой функции есть прямая.

Построим ее.

1-й способ. Выберем произвольно две точки прямой. Например,

если х = 0, то y= 2·0 + 6 = 6.

Координаты первой точки (0; 6). Если х = -2, то у = 2 · (-2) + 6 = 2. Вторая точка (-2; 2). Отметим их на координатной плоскости, проведем через них прямую (рис. 1.4).

2-й способ. Преобразуем уравнение прямой к уравнению в отрезках: -2х+у=6, ,

Получили, что искомая прямая пересекает ось Ох в точке х=-3,

а ось Оу — в точке y=6. Проведем через эти точки прямую (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Рис.1.5

Дробно-линейная функция

Рассмотрим частный случай: , k ≠ 0 — обратная пропорциональная зависимость.

Область определения — вся числовая прямая, кроме х = 0:

D(y) = (- ; 0) (0; ).

Функция нечетная:

Графиком обратной пропорциональности является гипербола (рис. 1.6), которая состоит их двух ветвей и симметрична относительно начала координат. Если k > 0 ветви гиперболы расположены в I и III

координатных четвертях; при k < 0 — во II и IV четвертях.

Рис. 1.6. Рис. 1.7.

Для более точного построения гиперболы отметим на координатной плоскости несколько точек одной из ее ветвей. Вторая ветвь есть симметричное отображение первой относительно начала координат.

Функцию легко преобразовать к виду , например, делением числителя на знаменатель. График дробно-линейной функции (рис. 1.7) получается путем параллельного переноса гиперболы на единиц вдоль оси абсцисс (влево, если п > О, или вправо, если п <0) и на единиц вдоль оси ординат (вверх, если m >0, или вниз, при m <0).

Пример 1.2. Построить график функции

РЕШЕНИЕ:

В ыделим целую часть.

6х-5 2х-3

6х-9 3

4

Рис. 1.8

Получили .

Построим гиперболу для этого используем принадлежащие ей точки (1; 2), (2; 1), (0,5; 4), (4; 0,5). График исходной функции получим, сдвинув гиперболу на 3 единицы вверх и на 1,5 единицы вправо (Рис.1.8).

Квадратичная функция у=ах² + bх + с, a 0