5.3. Применение производной в задачах с экономическим содержанием.
Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение х единиц продукта, при котором прибыль Р(х) оказывается наибольшей.
Пример 5.1.
1.
Количество производимого товара Q
и численность работающих L
связаны зависимостью
.
Определить оптимальное количество
работающих.
РЕШЕНИЕ.
1)
2)
;
;
L = 20
3
)
+ -
Q
20 L
Оптимальное количество работающих L = 20.
Пример 5.2.
Для некоторого товара зависимости спроса QD и предложения QS от цены Р представлены линейными функциями:
QD
= -0,5Р+24 QS=
Налог на продажу единицы продукции составляет t. Определить величину налога, при котором поступления в казну будут максимальными (максимальность установить по второй производной).
РЕШЕНИЕ.
Для того, чтобы учесть налог на продажу, достаточно в уравнении определяющем предложение заменить цену Р на Р-t:
В
точке равновесия:
,
где t – налог на единицу
Т – суммарный налог.
Это и есть та функция, точки максимума которой дают решение поставленной задачи.
1)
2)
3)
- точка максимума
При t=20 поступления в казну будут максимальны.
Задания для самостоятельной работы
1)
Функция дохода
,
издержки С=20+30Q.
Найти максимальную прибыль.
2) Оптимизировать доход, если цена Р=-10-2Q+20.
3) Найти оптимальное количество работников, если производственная функция имеет вид:
4) Функции спроса и предложения заданы зависимостями:
и
Оптимизировать налог с проданной продукции.
6. Задания к расчетно-графическим работам
6.1. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 1
Варианты заданий для расчетной работы № 1 определяются по порядковому номеру студента в списке группы.
Задание 1.
Провести полное исследование функций и построить их графики.
Варианты задания 1 для расчетной работы № 1
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
21.
|
22.
|
23.
|
24.
|
25.
|
26.
|
27.
|
28.
|
29.
|
30.
|
31.
|
32. |
Варианты дополнительных заданий для расчетной работы №1
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20.
|
21.
|
22.
|
23.
|
24.
|
25.
|
26.
|
27.
|
28.
|
29.
|
30.
|
31.
|
32. |
