Задания для самостоятельной работы

Исследуйте функцию и постройте её график:

А. 1) 2) 3) 4)

Б. 1) 2) 3) 4)

В. 1) 2) 3)

4) 5)

4.6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Справочный материал.

Часто приходится рассматривать задачи, связанные с нахождением наибольшего или наименьшего значения из всех тех значений, которые функция принимает на некотором отрезке. В отличие от локальных экстремумов, такие значения называются глобальными экстремумами.

Если f(x) монотонна на то наибольшее и наименьшее значение функция принимает на концах отрезка.

Пример 4.9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на

РЕШЕНИЕ: для значит, функция возрастающая на

Отсюда ясно, что наименьшее значение функция принимает на левом конце при x=2, наибольшее - на правом конце при x=5:

Ответ:

Если f(x) непрерывна, но не монотонна на , то наибольшее и наименьшее значения функция может принимать либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Отсюда можно сформулировать следующее правило.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на , нужно найти все критические точки функции, лежащие внутри , вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка. Сравнив все найденные значения, выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример 4.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке

РЕШЕНИЕ: f(x) на определена и непрерывна. Найдём критические точки, для чего определим производную Она существует во всех точках :

и

Обе критические точки принадлежат .

Вычислим значения данной функции в точках и

Пример 4.11. Найти наибольшее значение функции

на R.

РЕШЕНИЕ: Этот пример отличается от 10(а) тем, что функция рассматривается не на конечном промежутке, а на всей числовой оси, так как Здесь мы не можем найти значения функции на концах промежутка и сравнить их со значениями функции в критических точках. Решить задачу поможет нам нахождение интервалов возрастания и убывания функции: Критические точки:

Составим табл. 4.5.

Таблица 4.5

x	(-¥; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; 3)	3	(3; +¥)
y¢	+	0	--	0	+	0	--
y	↑	7 max	↓	0 min	↑	135 max	↓

Из таблицы видно, что функция имеет два максимума:

Кроме того, на функция возрастает до а на функция убывает от

Отсюда делаем вывод, что наибольшего значения функция достигает в точке

Ответ:

Примеры.

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке: а) б)

РЕШЕНИЯ: Находим критические точки функции. Так как то имеются две критические точки: и

а) В промежутке лежит одна из критических точек: Так как то наименьшее значение функции достигается в точке и равно 3, а наибольшее – в точке и равно 8. Кратко это можно записать так:

б) В промежутке данная функция убывает. Поэтому

Наименьшего значения в промежутке функция не достигает, так как точка не принадлежит этому промежутку.