11 Класс. Коллоквиума по геометрии

Часть 1«Основы планиметрии»

1. Внешний угол треугольника. Определение. Свойство.

Определение. Внешний угол – угол, дополняющий внутренний угол до 180 градусов.

Свойство: 1. Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

2. Теорема о сумме углов треугольника. Следствие из теоремы.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Следствие.1. У любого треугольника хотя бы 2 угла острых.

Следствие.2. Величина внешнего угла равна сумме величин двух внутренних углов треугольника не смежных с ним.

Следствие.3. Сумма внешних углов равна 360 градусов.

3. Определение средней линии треугольника. Свойства средней линии треугольника.

Определение 1. Средняя линия треугольника – отрезок соединяющий середины двух его сторон.

Свойство: 1. Средняя линия параллельна одной из его сторон (основанию) и равна половине этой стороны.

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Определение 2 . Медиана треугольника – отрезок концы которого соединяют вершины треугольника и середину противоположной стороны.

Определение 3. Биссектриса треугольника– это отрезок биссектрисы угла, от вершины до точки пересечения с противоположной стороной.

Определение 4. Высота треугольника- это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону или ее продолжение.

4. Свойства биссектрисы угла треугольника. Формула для вычисления длины биссектрисы треугольника.

Свойство: 1. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам .

Свойство: 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности)

Свойство: 3. Биссектриса равноудалена от сторон треугольника.

Формула для вычисления величины биссектрис:

, где а,b стороны «прилежащие» к биссектрисе

x, y отрезки на которые биссектриса разбивает третью сторону.

5. Свойства медианы треугольника. Формула для вычисления длины медианы треугольника.

Свойство: 1. Медианы пересекаются в одной точке. (центр тяжести)

Свойство: 2.Точкой пересечения медианы делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Свойство: 3. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Свойство: 4. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольника.

Формула для вычисления величины медианы:

или , где а,b, с стороны треугольника.

6. Центр вписанной и центр описанной окружности.

Определение 1. Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник – описанным около этой окружности.

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну. Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.

Определение 2. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема 2. Около любого треугольника можно описать окружность и при этом только одну. Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

7. Отношение периметров, площадей, высот подобных фигур.

Свойство 1.Отношение периметров и высот подобных фигур равно коэффициенту подобия

Свойство 2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия .

8. Теорема косинусов. Следствия: связь между диагоналями и сторонами параллелограмма; определение вида треугольника; формула для вычисления длины медианы треугольника; вычисление косинуса угла треугольника.

Теорема 1. Теорема косинусов – квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

стороны треугольника и угол  , противолежащий стороне .

Следствие 1. Следствие из теоремы косинусов (о связи диагоналей и сторон параллелограмма). Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

d₁² + d₂² = 2 a² + 2 b²

Следствие 2. Следствие из теоремы косинусов об определении вида треугольника.

Пусть с- наибольшая сторона треугольника.

Если с²=а²+b², то угол против с=90 градусов и треугольник прямоугольный.

Если с²<а²+b², то угол против с<90 градусов и треугольник остроугольный.

Если с²>а²+b², то угол против с>90 градусов и треугольник тупоугольный.

Формула 1. Формулы для вычисления длины медианы треугольника.

или

Формула 2. , угол лежит напротив стороны а.

9. Теорема синусов. Следствие теоремы синусов( о радиусе описанной окружности).

Теорема 1. Теорема синусов – стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где  ,  ,   — стороны треугольника,   — соответственно противолежащие им углы.

Следствие 1. Следствие из теоремы синусов (о радиусе описанной окружности). Диаметр описанной окружности около треугольника равен отношению стороны треугольника к синусу противоположного угла.

где  ,  ,   — стороны треугольника,   — соответственно противолежащие им углы, а   — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

10. Свойства прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора. В любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Синус угла х – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла х – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла х – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла х – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу.

Свойство: 1. В любом прямоугольном треугольнике, высота, опущенная из прямого угла( на гипотенузу), делит прямоугольный треугольник, на три подобных треугольника.

Свойство: 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).

Свойство: 3. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Свойство: 4. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

Формула 1. , где гипотенуза;

Формула 2. , где гипотенуза; , катеты.

Свойство: 5. В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе, равна ее половине и равна радиусу описанной окружности.

Свойство: 6. Зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника:

;

;

.

11. Свойство диаметра перпендикулярного хорде.

Свойство: 1. Диаметр перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.

12. Свойство дуг, заключенных между параллельными хордами.

Свойство: 1. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

13. Свойства касательной.

Определение. Касательная – прямая, имеющая только одну точку пересечения с окружностью.

Свойство: 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу проведенного в точку касания.

Свойство: 2. Две касательные проведенные из одной точки к окружности – равны.

14. Определение вписанного угла, центрального угла. Измерение их величин. Свойство вписанного угла, его связь с центральным углом, опирающимся на туже хорду.

Определение 1. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность – вписанный угол.

Определение 2. Центральный угол в окружности – плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Свойство: 1. Все вписанные углы, опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

Свойство: 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр прямой.

15. Угол с вершиной внутри круга; угол с вершиной вне круга; угол межу касательной и хордой. Измерение их величин.

Свойство: 1. Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна заключается между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.

Свойство: 2. Угол, вершина которого лежит вне круга, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

Свойство: 3. Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги заключенной внутри него.

16. Свойство хорд, пересекающихся в круге.

Свойство: 1. Если хорды, АВ и СD окружности пересекаются в точке S, то AS ВS=DS CS.

17. Свойство секущей и касательной, проведенной из одной точки.

Свойство: 1. Произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

18. Свойство секущих, проведенных из одной точки.

Если из одной точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A,B,C,D соответственно, то AP ВP=CP DP.

19. Свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Свойство: 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равна 180 градусов.

Свойство: 2. Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

20. Правильный многогранник. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружности.

Определение 1. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Площадь правильного многоугольника

Формула 1. Для радиуса окружности, описанной около правильного n-угольника.

Формула 2. Для радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник.

21. Правильный четырехугольник.

Диагональ

Площадь квадрата (через сторону; через диагональ).

Радиус вписанной окружности

Радиус описанной окружности .

22. Правильный треугольник

Высота

,

23. Правильный шестиугольник

Большая диагональ равна , меньшая , , .

Формула для нахождения величины угла правильного многоугольника. Величина угла правильного многоугольника равна .

Площадь правильного шестиугольника.

24. Определение равновеликих фигур.

Определение. Фигуры называется равновеликими – если их площади равны.

25. Формулы для вычисления площади:

Площадь прямоугольника (через сторону; через диагональ).

Площадь параллелограмма (через высоту; через угол; через диагонали).

Площадь ромба (через угол; через диагонали; через высоту).

Площадь трапеции.

Площадь выпуклого четырехугольника.

Площадь правильного треугольника.

Площадь правильного шестиугольника.

Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) равна половине произведения сторон треугольника и на синус угла между ними.

Площадь треугольника (через высоту) равна половине произведения основания на высоту. .

Площадь треугольника (формула Герона).

Площадь квадрата (через сторону; через диагональ).

Площадь круга.

Площадь кругового сектора. ( -угол в радианах, угол в градусах )

Площадь кругового сегмента. -угол в радианах, угол в градусах )

Площадь описанного многоугольника .

Формулы для вычисления площади треугольника через радиусы.

Площадь треугольника (через радиус описанной окружности; через радиус вписанной окружности). .

26. Вектор. Координаты вектора. Длина вектора.

Определение. Вектор- это направленный отрезок имеющий начало и конец. Обозначается например или .

Пусть А - начало вектора и B - конец вектора

Тогда координатами вектора называются , где , ;

Длина вектора .

27. Равные вектора. Коллинеарные вектора. Их свойства.

Два вектора называются равными, если они коллиниарные и имеют одинаковую длину и направление.(равные вектора имеют равные координаты).

Вектора называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

28. Коллинеарные вектора – это вектора, у которых координаты пропорциональны.

Пусть вектор - вектор , тогда

.

29. Координаты середины отрезка.

Если необходимо найти т. С ( ,середину отрезка АВ,(т.А , т.B ), тогда координата точки С , равна , .