Лабораторная работа №14. Поэлементное сложение, вычитание, умножение и деление двух массивов. Решение системы линейных уравнений

Цель работы: Научиться простейшим операциям над массивами, использовать встроенные функции для работы с матрицами

Часто при работе с таблицами возникает необходимость применить одну и ту же операцию к целому диапазону ячеек или произвести расчеты по формулам, зависящим от большого массива данных. Под массивом в электронной таблице Excel понимается прямоугольный диапазон формул или значений, которые программа обрабатывает как единую группу.

Умножение массива на число. В качестве первого примера простой операции над массивами рассмотрим умножение массива, расположенного в диапазоне А1:В2 на число 5. Для этого выделите на рабочем листе область, такого же размера, как и массив-множимое, например D1:Е2. Теперь, не отменяя выделение, введите формулу. Для этого установите курсор в строке формул и закончите ввод не как обычно, нажатием клавиши <Еnter>, а одновременным нажатием клавиш <Сtrl>, <Shift>, <Еnter>. Таким образом Вы сообщите программе о необходимости выполнить операцию над массивом. При этом MS Ехсеl возьмет формулу в строке формул в фигурные скобки и произведет требуемые вычисления с элементами массива и заключит формулу в строке формул в фигурные скобки: {=A1:B2*5}. Помните, что ввод формулы начинается с знака «=»

При работе с массивами формула действует на все ячейки диапазона. Нельзя изменять отдельные ячейки в операндах формулы. В MS Ехсеl имеются, например, следующие специальные функции для работы с матрицами:

Функции	Действие
МОБР	Обратная матрица
МОПРЕД	Определитель матрицы
МУМНОЖ	Матричное произведение двух матриц
ТРАНСП	Транспонированная матрица

Во всех случаях при работе с матрицами перед вводом формулы надо выделить область на рабочем листе, куда будет выведен результат вычислений.

ЗАДАНИЕ 1. Вычислить массив С по формуле: С=А+В, где массивы имеют вид

А	5	-4	В	10	5
	3	8		2	-6

1.1 Введите массивы А и В в диапазоны А1:С2, D1:F2

1.2 Выделите на рабочем листе диапазон A5:B6, в который будет помещен результат поэлементного сложения двух массивов.

1.3 В строке формул введите формулу B1:C2+E1:F2. Завершите ввод одновременным нажатием комбинации клавиш Ctrl, Shift и Enter.

Обратите внимание на фигурные скобки в строке формулы, образующиеся после ввода формулы.

ЗАДАНИЕ 2. Вычислить массив С по формуле: С=А/В

2.1 Выделите на рабочем листе диапазон А8:В9, в который будет помещен результат поэлементного деления двух массивов.

2.2 В строке формул введите формулу B1:C2/E1:F2. Завершите ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Аналогично вычислите поэлементно разность, произведение массивов.

ЗАДАНИЕ 3. Вычислите массив, элементы которого равны значениям функции cos от соответствующих элементов искомого массива A

A	1	5
	2	9

3.1. Введите массив A в диапазон A1:B2

3.2. Выделите на рабочем листе диапазон D4:E5, в который будет помещен результат вычисления.

3.3. В строке формул введите формулу cos(A1:B2). Завершите ввод нажатием комбинаций клавиш Ctrl+Shift+Enter.

ЗАДАНИЕ 4. Решите систему линейных уравнений:

8x₁+3x₂4

2x₁+7x₂2

4.1. Запишем данную систему в матричном виде A*XB, где А-матрица коэффициентов имеет вид:

A	8	3
	2	7

В – столбец свободных членов:

B	4
	2

Х – столбец неизвестных:

Х	X1
	X2

Решение данной системы имеет вид: XA^-1*B, где A^-1 обратная матрица к A

4.2. Введите исходные данные, как показано на рисунке 15:

	À	B	C	D	E	F
1	Матрица коэффициентов			Свободные члены		Решение
2	8	3		4
3	2	7		2

Рисунок 15

4.3. Выделите диапазон F2:F3, в который будет введено решение. В строке формул введите формулу, используя Мастер функций: =МУМНОЖ(МОБР(A2:B3);D2:D3). Завершите ввод одновременным нажатием клавиш Ctrl, Shift и Enter.

4.5 Решением системы уравнений является вектор

Х	0,44
	0,16

ЗАДАНИЕ 5. Решите систему линейных уравнений A³*X=B, где матрицы A и B имеют вид:

А	7	2		B	2
	1	4			1

Решением этой системы является вектор X(A³)^-1*B. Для нахождения вектора X выполним следующие действия:

- введите элементы матрицы A в диапазон ячеек A2:B4;

- введите элементы матрицы B в диапазон ячеек D2:D3;

- выделите диапазон F2:F3, куда поместим элементы вектора решения

в строке формул введите формулу:

=МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(МУМНОЖ(A2:B3;A2:B3);A2:B3));D2:D3) и завершите ввод одновременным нажатием клавиш Ctrl, Shift и Enter.

- в диапазоне ячеек F2:F3 будет найдено решение системы уравнений.

ЗАДАНИЕ 6. Решение системы линейных уравнений Методом Крамера. Вычисление квадратичной формы (вариант определяется преподавателем)

1. Решите систему линейных уравнений Методом Крамера (таблица 42, a):

1.1. Используя функцию МОПРЕД(), вычислите определитель матрицы А

1.2. В матрице А замените первый столбец значениями вектора В и вычислите определитель полученной матрицы

1.3. Частное этих двух цифр будет первым значением вектора Х, т.е. х₁

1.4. Аналогично вычислите остальные значения вектора Х

2. Вычислите квадратичную форму z, (таблица 42, б).

Таблица 42

	Task № 1	Matrix				№	Task №2	Matrix
1	а) б)					4	а) б)
2	а) б)					5	а) б)
3	а) бв)

ЗАДАНИЕ 7. Вычисление сложных выражений.

Найдите значение следующего выражения (X – вектор из n компонентов, B и C – матрицы):

7.1 Введите элементы матрицы X в диапазон ячеек A2:A4;

7.2 Введите элементы матрицы B в диапазон ячеек B2:C3;

7.3 Введите элементы матрицы C в диапазон ячеек D2:E3;

7.4 Выделите ячейку B6, куда будет помещено значение выражения. В строке формул введите формулу и завершите ввод одновременным нажатием клавиш Ctrl, Shift и Enter.:

=(2*СУММ(A2:A4)+СУММ(B2:C3*D2:E3)^2)/(1+СУММ(A2:A4^2))

В ячейке B6 отобразится значение S

Примечание: Этот же результат можно получить и без использования формул массивов, введя в ячейку B6 формулу:

=(2*СУММ(A2:A4)+СУММПРОИЗВ(B2:C3;D2:E3)^2)/(1+СУММКВ(A2:A4))

Аргументы, которые являются массивами, должны иметь одинаковые размерности.

Функция СУММПРОИЗВ() возвращает сумму произведений соответствующих элементов массивов. Синтаксис: СУММПРОИЗВ(массив1; массив2; …)

Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов. Синтаксис: СУММКВ(число1; число2; …)

ЗАДАНИЕ 8. Даны две матрицы А и В, которые имеют вид

A	2	6	-5	B	5	-5	6
	5	5	2		3	5	7
	3	8	4		1	9	8

Вычислите:

• произведение массива A на число 7;

• сумму и разность массивов A и B;

• поэлементное произведение и деление массивов A и B;

• значение функции sin от каждого элемента массива A;

ЗАДАНИЕ 9. Решите систему линейных уравнений:

2 x₁+x₂3

4 x₁+5 x₂2

ЗАДАНИЕ 10.

1. Найдите обратную матрицу к матрице (А+В). Проверьте результат, вычислив произведение исходной матрицы и обратной к ней (второй столбец) .

2. Решите систему линейных уравнений (А*Х=В, А²*Х=В, А³*Х=В) методом обратной матрицы (третий столбец).

№ варианта
1
2
3
4
5

ЗАДАНИЕ 11. Найдите значение следующего выражения:

11.1.

, где X= {1;2;7;4} Y= {1;7;2;3} B=

X, Y – векторы из n компонентов, A – матрицы размерности mхm, где n=4, m=2

11.2.

, где X= {7;5;7;4} Y= {2;4;2;3}

X, Y – векторы из n компонентов, причем, n=4

11.3. Найдите значение сложных выражений S, где а, x, y – вектора из n компонентов, b и c – матрицы размерности (таблица 43).

Таблица 43.

№	Выражения	Вектор а, x, y	Матрица ,
1
2
3
4
5