Обработка результатов измерений

Виды измерений и их погрешности изучают специальные разделы науки «метрология». Информация о погрешностях и методах обработки экспериментальных результатов имеется в соответствующих учебниках, в лабораторных практикумах для вузов и в Интернете. Ниже приводятся лишь минимально необходимые сведения, необходимые для расчетов погрешностей в лабораторных работах.

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения физической величины от её истинного значения. Поскольку истинное значение физической величины является идеальной моделью и её с абсолютной точностью измерить невозможно, то в лабораторных работах за истинное значение принимают среднее значение физической величины х_ср.

В лабораторных работах имеются следующие виды измерений:

1) однократное измерение выполняют один раз (например, барометром определяют атмосферное давление в комнате);

2) прямое измерение  – искомое значение физической величины получают непосредственно (например, определяют температуру тела термометром, массу – весами, длину – линейкой);

3) косвенное измерение  – искомое значение физической величины определяют на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной (при этом производят вычисления по формулам, например, для определения универсальной газовой постоянной R измеряют другие физические величины, входящие в уравнение Менделеева-Клапейрона).

Обработка результатов прямых измерений осуществляется следующим образом:

1) для уменьшения влияния случайных ошибок измерение физический величины х производится несколько раз, при этом получается ряд значений с некоторым разбросом:

х₁, х₂, х₃, …, х_n,

где n – число измерений;

2) вычисляется среднее значение х_ср из n измерений:

(число х_ср округляется до 4–5 цифр);

3) находится абсолютная погрешность измерений х:

,

где t – коэффициент Стьюдента, найденный по таблице для заданной надежности P (обычно Р = 0,95) и числа измерений n; _ср – среднее квадратичное отклонение среднего результата.

4) погрешность х округляется до 2 цифр, а значение х_ср округляется до соответствующих десятичных разрядов;

5) полученное значение х сравнивается с погрешностью измерительного прибора (половиной ценой деления шкалы) и берется наибольшая из них (если одна погрешность больше другой более чем в 2–3 раза);

6) если нет разброса показаний прибора (все значения х₁, х₂, х₃, …, х_n одинаковы) или измерение было однократным (например, измерение комнатной температуры), то в качестве абсолютной погрешности х следует взять половину цены деления шкалы прибора;

7) окончательный результат прямого измерения записывается в виде:

х = х_ср  х.

Примеры правильной записи:

х = 12,34  0,56; х = 123  56; х = (1,234  0,056) 10^5.

Примеры неправильной записи:

х = 12,347  5,6; х = 123  0,56; х = (1,234  0,56) 10^5.

Расчеты погрешностей косвенных измерений проще показать на примерах. При расчетах необходимо использовать правила дифференцирования и логарифмирования. Следует также отметить, что в физические формулы часто входят численные коэффициенты, математические и физические константы, а также табличные значения физических величин (например, плотность тела и др.). Все эти величины при расчетах погрешностей косвенных измерений следует считать константами, так как они измерены или вычислены с очень высокой точностью (по сравнению с измерениями в лабораторной работе).

Итак, предположим, что в результате прямых измерений в лабораторной работе были непосредственно измерены 3 физические величины, которые перед подстановкой в расчетную формулу имеют вид:

х = х_ср  х; a = a_ср  a; b = b_ср  b.

Поскольку абсолютные погрешности обычно малы по сравнению с самими физическими величинами (х << х_ср), то абсолютные погрешности можно заменить на бесконечно малые математические величины – дифференциалы:

х  dx; a  da; b  db.

Далее необходимо пользоваться правилами дифференцирования, при этом все экспериментально измеренные величины считаются переменными.

Возьмем сначала простой случай, когда расчетная формула представляет собой сумму или разность, например:

y = x + a – b.

Рассчитаем саму физическую величину:

y_ср = x_ср + a_ср – b_ср.

Для расчета погрешности дифференцируем расчетную формулу:

dy = dx + da – db.

Теперь необходимо перейти от дифференциалов (d) к абсолютным погрешностям (). Чтобы найти максимальную относительную погрешность, погрешности должны складываться (а не вычитаться), поэтому знаки «минус» перед дифференциалами необходимо заменить на знаки «плюс» перед погрешностями ( d  + ):

y = x + a + b.

Результат косвенных измерений записываем в виде:

y = y_ср  y.

Пример. Масса воды в стакане m определяется как разность массы стакана с водой и массы пустого стакана: m = m₂ – m₁. Погрешность: m = m₂ + m₁.

Пример. Температура в Кельвинах Т определяется по формуле T = t + 273,15, где t – температура в градусах Цельсия. Погрешность: T = t (постоянная величина 273,15 при дифференцировании обращается в нуль).

Рассмотрим второй случай, когда расчетная формула представляет собой дробь или произведение, например, возьмем абстрактную формулу:

где  = 3,14 (число «пи»); х, a, b, m₁, m₂ – экспериментально измеренные величины;  – плотность тела (табличная величина); g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения; r – радиус трубки лабораторной установки (постоянная прибора).

Рассчитываем физическую величину:

При расчете погрешности, при дифференцировании, те физические величины, которые студент экспериментально измерил в лабораторной работе, считаются переменными, а все остальные величины – постоянными.

Если сразу дифференцировать расчетную формулу, то математические вычисления будут очень громоздкими. Для упрощения вычислений возьмём натуральный логарифм от обеих частей равенства (при этом все постоянные величины лучше объединить в один логарифм, который при дальнейшем дифференцировании обратиться в нуль):

Дифференцируем:

Здесь при дифференцировании использовались следующие правила:

Чтобы найти максимальную погрешность, все погрешности необходимо сложить. Делаем замены: знак дифференциала (d) заменяем на знак абсолютной погрешности (), а знаки «минус» перед дифференциалами заменяем на знаки «плюс» перед погрешностями ( d  + ):

Выражение y/y представляет собой относительную погрешность . Вычислим её:

(Данное выражение очень наглядно показывает вклад погрешности каждого измерения в общую погрешность.)

Находим абсолютную погрешность косвенного измерения:

y =   y_ср .

Записываем итоговый результат косвенных измерений:

y = y_ср  y.

(погрешность y округляется до 2 цифр, а значение y_ср округляется до соответствующих десятичных разрядов).