Умови належності прямої до площини.
, (13)
.
(14)
Співвідношення (13) означає, що пряма (10) паралельна площині (9), (14) означає, що точка прямої лежить на площині.
ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
Лекція 5.
План
Матриці. Означення. Операції над матрицями.
Визначники. Їх властивості.
Визначники
-го
порядку. Розкладання визначника за
елементами рядка або стовпця.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Розв’язання систем лінійних рівнянь за правилом Крамера.
Означення.
Матрицею вимірністю
називається прямокутна таблиця, в якій
рядків і
стовпців
,
– елементи
матриці, де
- номер рядка матриці (
),
- номер стовпця матриці (
).
Матриці позначаються так:
,
.
Якщо число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратною.
Елементи
квадратної матриці
в якій
називаються діагональними, а діагональ,
яку вони утворюють, називається головною.
Протилежна їй діагональ називається
побічною.
Нульовою матрицею називається матриця, усі елементи якої дорівнюються нулю.
Означення. Сумою двох матриць однакової вимірності називається матриця, в якій елементи являють собою суму відповідних елементів матриць доданків.
.
Приклад:
,
,
.
Властивості додавання матриць:
;
.
Означення. Добутком матриці на число називається матриця, всі елементи якої одержані в результаті перемноження відповідних елементів початкової матриці на розглядуване число.
Приклад:
,
,
.
Означення.
Добутком матриці
вимірністю
на матрицю
вимірністю
називається матриця
вимірністю
,
усі елементи якої одержані за формулою
,
;
.
Приклад:
,
,
.
Властивості
;
;
;
;
.
Визначники. Їх властивості.
Розглянемо квадратну матрицю другого порядку
.
Означення. Визначником другого порядку, що відповідає матриці , називається число
,
або
.
Розглянемо квадратну матрицю 3-го порядку
.
Означення. Визначником 3-го порядку, який відповідає матриці називається число
.
Обчислюють визначник 3-го прядку, користуючись правилом трикутника (рис.1), або правилом Саррюса (рис.2).
Рис.1
Рис.2
Приклад. Обчислити визначник
Властивості визначників.
Якщо у визначнику замінити місцями рядки зі стовпцями, то величина визначника при цьому не зміниться.
,
,
.
Якщо у визначнику змінити місцями будь-які два рядки (стовпці), то це рівнозначно множенню визначника на -1.
,
,
.
Якщо у визначника елементи будь-яких двох рядків (стовпців) співпадають, то визначник дорівнює нулю.
.
Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.
.
Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
.
Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця) є сума двох доданків, то визначник можна зобразити як суму двох визначників.
.
Якщо елементи будь-якого двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
.
Якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на деякий множник, то величина визначника при цьому не зміниться.
.
Розкладання визначника за елементами рядка (стовпця).
Розглянемо визначник
.
Означення.
Мінором
,
що відповідає елементу
визначника, називається визначник, який
одержимо із розглядуваного після
викреслювання рядка і стовпця, на
перетині яких знаходиться елемент
зокрема,
.
Означення.
Алгебраїчним доповненням
елемента
називається величина
.
Властивість. Величина визначника дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.
Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчне доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю
;
.
Цією властивістю користуються при обчисленні визначників -го порядку.
Приклад. Обчислити визначник
.
Означення. Визначником -го порядку називається число
.
Обчислюється визначник -го порядку шляхом розкладання його за елементами рядка або стовпця.
Приклад: Обчислити визначник
.
Перетворимо, використовуючи властивості визначників,
Розкладемо
за елементами четвертого рядка
