Кут між площинами.

Нехай задано дві площини

(3)

Необхідно знайти кут між ними. Кут між двома площинами – це кут між їх нормальними векторами.

та ,

. (4)

Умови перпендикулярності площин

, ,

Умови паралельності площин (випливають із умови колінеарності нормальних векторів)

.

Відстань від точки до площини.

Нехай задано площину і точку . Відстань від точки до площини визначається за формулою

.

Жмуток площин

Означення. Жмутком площин з центром в лінії L називається сукупність усіх площин, що проходять через вказану лінію.

Пряма лінія у просторі може бути задана як лінія перетину двох площин

Рівняння жмутка площин можемо записати у вигляді

.

Приклад. Через лінію перетину площин

провести площину, яка проходить через т. .

Запишемо рівняння жмутка площин

.

Підставимо координати т.

,

.

Тоді одержимо .

Після перетворень рівняння шуканої площини має вигляд

.

Загальні рівняння прямої у просторі.

Пряма у просторі задається як лінія перетину двох площин

(5)

Система двох рівнянь з трьома невідомими має нескінченність розв’язків. Геометричний образ кожного розв’язку – точка у просторі. Всі розв’язки – точки на прямій.

Канонічні рівняння прямої у просторі.

Нехай - напрямний вектор прямої у просторі; - точка у просторі, - довільна точка прямої.

Тоді вектори і колінеарні.

Умови колінеарності цих векторів

(6)

Рівняння (6) називають канонічними рівняннями.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Ці рівняння одержимо з (6), якщо напрямним вектором візьмемо , де , , .

Тоді одержимо

. (7)

Перехід від загальних рівнянь до канонічних можемо здійснити різними способами. Розглянемо один з них.

Нехай пряма задана загальними рівняннями

(8)

Із системи (8) знаходимо

Звідси .

Приклад.

.

Кут між двома прямими у просторі.

Нехай прямі задані канонічними рівняннями

, .

Кут між прямими – це кут між їх напрямними векторами , .

Косинус кута між двома векторами, заданими декартовими координатами, знаходиться за допомогою відомої формули

,

а) умова перпендикулярності двох прямих , ,

;

б) умови паралельності прямих. Вони випливають із колінеарності напрямних векторів

.

Кут між прямою та площиною.

Нехай задані площина та пряма

, .

Значить, задані нормальний вектор площини та напрямний вектор прямої .

Рис. 1

Тоді з рис. 1 видно, що .

а) умови перпендикулярності прямої та площини. Вони випливають із колінеарності векторів і

.

б) умова паралельності , ,

.

Точка перетину прямої з площиною.

Нехай задані пряма і площина

, (9)

. (10)

Щоб знайти точку перетину прямої з площиною, треба розв’язати систему рівнянь (9) і (10). Для цього пряму зручно задати параметричними рівняннями

( - параметр),

або

(11)

Підставимо (11) в (9)

,

. (12)

Значення параметра за формулою (12) можемо знайти за умови, що , тобто пряма не паралельна цій площині.

Таким чином, якщо значення параметра , знайдене за формулою (12), підставити в (11), то одержимо координати точки перетину прямої з площиною.

Приклад. Знайти точку перетину прямої з площиною .

Розв'язок.