Гіпербола.

Означення. Гіперболою називається г.м.т на площині, для яких абсолютна величина різниці відстаней до двох фіксованих точок (фокусів) є величиною сталою.

, .

Після перетворень одержимо

- канонічне рівняння гіперболи (2)

де

Дослідження форми:

1. Гіпербола (2) має дві осі симетрії (осі координат) та центр симетрії – початок системи.

2. Гіпербола не має точок у заштрихованій частині площини.

Рис. 3

3. При точки гіперболи наближаються до прямих - асимптот.

4. Гіпербола (2) має спряжену .

(0, b)

y

(a, 0)

x

спряжена гіпербола

Рис. 4

Парабола.

Означення. Параболою називається г.м.т. на площині, відстані яких до фіксованої точки (фокуса) дорівнюють відстаням до заданої прямої (директриси).

Рис. 5

Канонічне рівняння параболи з віссю симетрії ОХ (рис. 5) має вигляд

(3)

Дослідження форми:

1. Парабола (3) має вісь симетрії ОХ.

2. Точки параболи (3) знаходяться по один бік від осі ОУ.

3. Парабола з віссю симетрії ОУ має вигляд .

4. Параболи з вершиною в точці і осями симетрії, паралельними, відповідно, осям ОХ та ОУ мають вигляд

,

.

Ексцентриситет еліпса та гіперболи

Означення. Ексцентриситетом називається величина .

• для еліпса

, ;

• для гіперболи

, .

Зокрема, для кола

, .

Для еліпса ексцентриситет є мірою сплющеності. Що більша величина , то більша сплющений еліпс.

Для гіперболи що більша величина , то більший кут між асимптотами.

ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМІТРІЇ У ПРОСТОРІ

Лекція 4.

План

1. Площина.

   1. загальне рівняння;

   2. неповні рівняння площини;

   3. рівняння площини у відрізках;

   4. нормальне рівняння площини;

   5. кут між площинами, умови паралельності та перпендикулярності площин;

   6. відстань від точки до площини;

   7. жмуток площин.

2. Пряма лінія у просторі.

1. загальні рівняння прямої (як лінії перетину площин);

2. канонічні рівняння;

3. рівняння прямої, яка проходить через дві точки;

4. перехід від першого до другого способу завдання прямої.

3. Кут між прямими у просторі (умови паралельності і перпендикулярності).

4. Кут між прямою і площиною.

1. умова паралельності;

2. умова перпендикулярності;

5. Точка перетину прямої з площиною. Умови належності прямої до площини.

Площина.

Теорема (без доведення). Рівняння , (1)

де - довільні сталі величини, з яких одночасно не дорівнюють нулю, є рівнянням площини, перпендикулярної вектору

. (2)

Рівняння (1) – називається загальним або повним рівнянням площини, вектор (2) – називається нормальним вектором площини.

Неповні рівняння площини:

1) ,  площина проходить через початок координат;

2) ,  площина паралельна до осі ;

3) , - площина паралельна до осі ;

4) , - площина паралельна до осі ;

5) , - площина паралельна до площини ;

6) , - площина паралельна до площини ;

7) , - площина паралельна до площини ;

8) , , - рівняння площини ;

9) , , - рівняння площини ;

10) , , - рівняння площини .

Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до вектора має вид:

,

де - нормальний вектор площини.

Рівняння площини у відрізках

,

– величини відрізків, що відтинаються площиною відповідно по осям .

Рівняння площини, що проходить через три задані точки , , :

.