Пряма на площині. Різні рівняння прямої.

Загальне рівняння прямої в прямокутній декартовій системі має вигляд

Ах + Ву + С = 0. (2)

А, В, С – дійсні числа; із коефіцієнтів А, В, хоч один відмінний від нуля. Можна довести, що (2) – це рівняння прямої, яка перпендикулярна векторові ; - вектор нормалі.

Частинні випадки:

1. Якщо А = 0 , то пряма паралельна осі 0Х.

2. Якщо В = 0, то пряма паралельна осі 0У.

3. Якщо С = 0, то пряма походить через початок координат.

4. Якщо А = С = 0, - рівняння осі 0Х.

5. Якщо В = С = 0, - рівняння осі 0У.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Ах + Ву + С = 0, Ву = - Ах – С,

y = kx + b,

k- кутовий коефіцієнт, який визначається через тангенс кута нахилу прямої до осі ОХ; b – координата точки перетину прямої з віссю ординат (рис. 2).

Рис. 2

у – у₀ = k (х – х₀) - рівняння прямої, що проходить через точку М₀(х₀, у₀) в напрямку, який визначається кутовим коефіцієнтом.

Приклад. Записати рівняння прямої, яка проходить через т. М (2; -5) під кутом 45⁰ до осі 0Х.

Розв’язання.

,

.

Рівняння прямої у відрізках

Ах + Ву + С = 0, Ах + Ву = - С,

,

а, b – величини відрізків, що відтинаються прямою відповідно на осях 0Х та 0У.

Канонічне рівняння прямої

Означення. Напрямним вектором прямої називається будь-який ненульовий вектор , який колінеарний цій прямій.

Зауваження. Якщо вектори

колінеарні, то їх (проекції) координати пропорційні.

Задача. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М₀(х₀, у₀) в напряму, що визначається вектором .

. Вектор колінеарний вектору за умовою. Тоді маємо канонічне рівняння прямої .

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки .

Напрямним вектором можна вибрати вектор . Тоді з канонічного рівняння одержимо

.

де (х₁, у₁), (х₂, у₂) – координати точок, через які проходить пряма.

Нормальне рівняння прямої.

Ах + Ву + С = 0. Розділимо на . Знак перед радикалом візьмемо протилежним знак С. У результаті маємо

x cos + y sin  p = 0,

, , .

- одиничний вектор нормалі.

Кут між двома прямими

- прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом.

.

Умова паралельності прямих:

.

Умова перпендикулярності прямих:

. .

Якщо прямі задані загальним рівняннями:

Кут між прямими – це кут між нормальними векторами

умова перпендикулярності ;

умова паралельності (колінеарності векторів ) .

Приклад. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М₀(3; -2) і паралельна прямій .

Розв’язання.

,

, .

.

Відстань від точки до прямої

Ах + Ву + С = 0.

Відстань визначається за формулою

.

Жмуток прямих

Означення. Жмутком прямих з центром в т. є сукупність усіх прямих, на площині, що проходять через задану точку.

Якщо центр жмутка задається як точка перетину двох прямих

то рівняння жмутка записується у вигляді

де - параметр.

Приклад. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих

та через точку .

Розв’язання.

Після простих алгебраїчних перетворень рівняння шуканої прямої має вигляд .

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Лекція 3.

План

1. Загальне рівняння кривої другого порядку.

2. Коло.

3. Еліпс. Дослідження форми.

4. Гіпербола. Дослідження форми.

5. Парабола. Дослідження форми.

Загальне рівняння кривих другого порядку на площині має вигляд (у декартовій системі координат)

де - деякі дійсні числа (коефіцієнти).

Криві другого порядку бувають такі: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

Означення. Колом називається г.м.т. на площині, відстань яких до фіксованої точки є величиною сталою (рис.1)

Рис.1

- це канонічне рівняння кола радіуса з центром в т. .

Окремий випадок: центр кола знаходиться в початку координат. Канонічне рівняння має вигляд

Еліпс.

Означення. Еліпсом називається г.м.т. на площині, сума відстаней яких до двох фіксованих точок (фокусів) є величиною сталою (рис.2)

0

Рис. 2

Після перетворень одержимо:

- канонічне рівняння еліпса. (1)

де

Дослідження форми:

1. Еліпс має дві осі симетрії – осі координат, та центр симетрії – початок координат. Це випливає з того, що рівнянню (1) задовольняють координати точок.

(х, у), (-х, у) – симетрія відносно осі ОУ;

(х, у), (х, -у) – вісь ОХ – вісь симетрії;

(х, у), (-х, -у) – симетрія відносно початку координат;

2. Усі точки еліпсу лежать у прямокутнику зі сторонами 2а та 2в.

;

3. Еліпс можна одержати в результаті рівномірного стискання кола.