Афінні координати. Декартові координати.

Означення. Афінна система координат визначається базисом та початком системи.

- координати вектора (або точки М) в базисі

Частинним випадком афінної системи координат є декартова, в якій базис утворюють одиничні ортогональні вектори .

- координати вектора в базисі

Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій.

Рис. 3.

Означення. Проекцією вектора на вісь називається довжина напрямленого відрізка , яка береться зі знаком +, якщо напрями і збігаються (співпадають), та зі знаком -, коли напрями протилежні (рис. 3).

Рис. 4.

Теорема 1. Проекція суми векторів на деяку вісь дорівнює сумі проекцій цих векторів на цю вісь.

Теорема 2. Проекція добутку вектора на дійсне число на деяку вісь дорівнює добутку числа на проекцію на цю вісь.

Скалярний добуток векторів. Його властивості.

Означення. Скалярним добутком вектора на називається добуток довжин цих векторів, помножений на косинус кута між ними, причому кута, меншого ніж .

.

Означення. Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з цих векторів на проекцію другого на напрям, який визначається першим вектором.

Теорема. Необхідною і достатньою умовою ортогональності двох векторів є рівність нулю їх скалярного добутку.

Необхідність. Нехай та ортогональні. Тоді

Достатність.

У випадку, коли один з векторів нульовий, можна вважати, що він ортогональний другому, оскільки нульовий вектор має довільний напрямок.

Властивості.

1)

2)

3)

Зауваження. У загальному випадку тому, що перший вектор є колінеарним вектору , а другий – вектору .

Вираз для скалярного добутку векторів, заданих декартовими координатами.

Теорема. Нехай та - вектори, які задані декартовими координатами

Тоді скалярний добуток цих векторів дорівнює

Висновок 1.

Висновок 2.

Тоді

Висновок 3. Нехай Тоді

Це напрямні косинуси вектора , - кути, які утворює вектор з осями координат. Причому кути, які .

Висновок 4.

- відстань між двома точками.

ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ НА ПЛОЩИНІ

Лекція 2.

План

1. Предмет та метод аналітичної геометрії.

2. Рівняння лінії на площині.

3. Рівняння прямої лінії на площині:

   1. загальне рівняння прямої;

   2. рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

   3. рівняння прямої у відрізках;

   4. канонічне рівняння прямої;

   5. рівняння прямої, що проходить через дві задані точки;

   6. нормальне рівняння прямої.

4. Кут між двома прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих.

5. Відстань від точки до прямої.

6. Жмуток прямих.

Предметом аналітичної геометрії є дослідження геометричних форм (точка, лінія, поверхня) алгебраїчними методами.

У основі аналітичної геометрії – метод координат. Суть методу в тому, що:

1. положення геометричних форм визначається дійсними числами – координатами;

2. у заданні ліній та поверхонь алгебраїчними рівняннями, що зв’язують координати довільних точок цих форм.

Н ехай на площині є деяка лінія . Виберемо деяку систему координат (рис. 1)

Є рівняння . (1)

Рис. 1

Означення. Рівняння (1) є рівнянням лінії у вибраній системі координат, якщо йому (цьому рівнянню) задовольняють координатами будь-якої точки цієї лінії і не задовольняють координати точок, що не лежать на .