Лінійні операції над векторами.

Означення. Лінійними називаються операції додавання, віднімання векторів та множення вектора на дійсне число.

Означення. Сумою двох векторів і розміщених так, що кінець вектора збігається з початком вектора , називають вектор , який з’єднує початок з кінцем .

Означення. Суму двох векторів можна одержати за правилом паралелограма, яким зручно користуватись для векторів зі спільним початком.

Означення. Різницею векторів називається вектор , який в сумі з вектором дорівнює вектору .

Означення. Різницею двох векторів , приведених до спільного початку, називають вектор , що з’єднує кінець вектора, який віднімається, з кінцем вектора, який зменшується.

Властивості операцій додавання і віднімання векторів.

1. - переставний (комутативний) закон;

2. - асоціативний (сполучний) закон.

Означення. Добутком вектора на дійсне число називають вектор , довжина якого дорівнює , а напрям збігається з напрямом , якщо , і протилежний напряму вектора , якщо

Властивості:

1. 

2. ,

3. 

Лінійна залежність векторів.

Означення. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі дійсні числа , з яких хоча б одне число відрізнялось від нуля, , що лінійна комбінація цих векторів дорівнює нулю

або

Теорема. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів є їх колінеарність.

Необхідність: якщо 2 вектори лінійно залежні, то вони – колінеарні.

Достатність: якщо 2 вектори колінеарні, то вони лінійно залежні.

Означення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній, або на паралельних площинах.

Теорема. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів являється їх компланарність.

Висновок: Якщо два не колінеарних вектори, то будь-який вектор , що лежить на площині векторів і можна зобразити у вигляді лінійної комбінації цих векторів (див. рис. 1).

Рис. 1.

Теорема. Будь-які 4 вектори у тривимірному просторі є лінійно залежними.

Рис. 2.

Розглянемо загальний випадок, коли серед 4-х векторів немає нульового вектора, двох колінеарних і трійки компланарних.

Приведемо вектори до спільного початку (рис. 2)

Висновок. Будь-який вектор тривимірного простору можна зобразити (може бути зображений) у вигляді лінійної комбінації будь-яких трьох не компланарних векторів

Базис. Розклад вектора за векторами базису.

Означення. Будь-які 3 некомпланарні вектори тривимірного простору (складають) утворюють базис цього простору, якщо будь-який вектор цього простору можна зобразити у вигляді лінійної комбінації вказаних векторів.

(1)

Означення. Будь-які 2 неколінеарні вектори і утворюють базис на площині, якщо будь-який третій вектор , що лежить на цій площині, можна зобразити у вигляді лінійної комбінації вказаних двох векторів.

(2)

Висновок 1. На площині будь-які два неколінеарні вектори, що лежать на ній, утворюють базис.

Висновок 2. У тривимірному просторі будь-які 3 некомпланарні вектори утворюють базис, оскільки всі інші вектори цього простору можна виразити у вигляді лінійної комбінації вказаних трьох векторів.

Формули (1) і (2) називаються формулами розкладання вектора за векторами базису відповідно в просторі і на площині.