Основні дії над комплексними числами.

Комплексні числа і рівні тоді і тільки тоді, коли , . Числа , називається спряженими і позначаються .

Сумою комплексних чисел і називається комплексне число .

Добутком цих чисел називається комплексне число .

Звідси видно, що комплексні числа в алгебраїчній формі перемножаться як звичайні двочлени тільки в результаті слід замінити на -1.

Відмітимо, що , . Тобто , , , . Нехай . Тоді , а , , як видно і - дійсні числа.

Різницею двох комплексних чисел і називається комплексне число .

Ділення – дія, обернена множенню. Під символом розуміємо комплексне число , яке задовольняє рівність . Якщо , , . Тобто, щоб поділити два комплексних числа слід чисельник і знаменник помножити на комплексне число спряжене знаменнику, а потім, виконавши множення, виділити дійсну і уявну частини частки.

Добуток рівних чисел називається -им степенем числа і позначається . Обернена операція – добування кореня – визначається таким чином: число називається коренем -ого степеня із числа , якщо . Корінь має різних значень.

Первісна функція і невизначений інтеграл.

Функція називається первісною для даної функції , якщо похідна дорівнює або диференціал її дорівнює , тобто

або

Дві будь-які первісні для даної функції відрізняються одна від одної на постійний доданок.

Множину всіх первісних для функції називають невизначеним інтегралом від функції і позначають Таким чином, якщо  первісна для функції то записують

де  підінтегральна функція,  підінтегральний вираз.

Властивості невизначеного інтеграла.

1. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла дорівнює підітне-гральній функції:

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до постійного доданка:

3. Сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми кількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожної функції:

Таблиця невизначених інтегралів.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. .

13. .

14. .

15. .

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Приклад. Знайти невизначений інтеграл

.

Метод підстановки (метод заміни змінної).

Якщо функція має неперервну похідну, то у невизначеному інтегралі завжди можна перейти до нової змінної таким чином

після чого знайти інтеграл з правої частини рівності і повернутися до змінної .

Приклад. Знайти інтеграл

Нехай звідси отже Роблячи підстановку, маємо

.

НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ

Лекція 9

План

1. Інтегрування частинами.

2. Інтегрування дробових раціональних функцій.

3. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

4. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій.