Правила Лопіталя.

Нехай функції та задовольняють умовам:

1. Вони диференційовані в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , причому у цьому околі.

2. Вони є нескінченно великими або нескінченно малими при .

3. Існує (скінченна або нескінченна).

Тоді існує , причому .

Зауваження. Сформульовані правила Лопіталя дозволяють розкривати невизначеності типу і діють також при та за випадків однобічних границь.

Приклади.

1. ;

2. .

Розглянемо границю , нехай . У цьому випадку функцію, границю якої треба знайти, необхідно записати так:

, або , і потім застосувати правило Лопіталя.

Приклад. Знайти .

Розкриття невизначеностей типу .

Розглянемо . Нехай , . Позначимо . Прологарифмуємо . Тоді

.

Нехай . Тоді . Звідси випливає, що . Аналогічно розкриваються невизначеності типу .

Приклад. Знайти .

Позначимо , ,

, .

Поняття про функції багатьох змінних.

Поняття функції однієї змінної узагальнимо на випадок багатьох змінних.

Означення. Якщо кожній парі значень двох незалежних змінних із множини (із області їх завдання ) відповідає одне значення змінної , то кажуть, що є функцією двох змінних , яка визначається на області і позначається .

Приклади. , .

Означення. Областю визначення (існування) функції називається сукупність значень , при яких ця функція визначена (існує).

Приклад. .

, .

Областю визначення цієї функції є частина площини , яка обмежена еліпсом (рис. 5). Точки, що лежать на еліпсові, також належать області визначення.

Рис. 5

Аналогічно вводяться поняття функцій трьох і більше змінних і позначаються .

Приклад. Підприємство випускає продукцію видів кількістю, відповідно, одиниць за плановий інтервал часу. Прибуток підприємства за цей інтервал є функцією змінних .

Означення. Число називається границею функції за умови, що точка прямує до , якщо для будь-якого можна знайти таке число , що для всіх точок , координати яких задовольняють умові , справедлива нерівність .

Пишуть , або .

Розглянемо функцію . Частинні прирости цієї функції, відповідно, по і , а також повний приріст, визначаються за формулами

,

,

.

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо справедлива рівність

,

або

,

або

.

Функція , неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області.

Означення. Частинною похідною функція по змінній називається границя відношення частинного приросту до за умови, що прямує до нуля

.

Аналогічно

.

Обчислюючи частинні похідні функції двох змінних, можна користуватися правилами, формулами диференціювання функцій однієї змінної, вважаючи при цьому іншу змінну сталою.

Приклад. ,

,

.

Похідна є функцією змінних . Якщо її продиференціювати по або , то одержимо похідну другого порядку

, .

Аналогічно

, .

ПОНЯТТЯ ПРО КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА. НЕВИЗНАЧЕНІ ІНТЕГРАЛИ

Лекція 8

План

1. Початкові означення.

2. Основні дії над комплексними числами.

3. Первісна функція і невизначений інтеграл.

4. Таблиця невизначених інтегралів.

5. Метод підстановки (метод заміни змінної).

Означення. Комплексним числом називається упорядкована пара дійсних чисел і . Пара чисел є упорядкованою, якщо вказано, яке число із пари є першим, а яке – другим.

Позначається комплексне число . Числа і називаються відповідно дійсною і уявною частинами комплексного числа і позначаються , .

Кожне комплексне число можна записати у вигляді . Це так звана алгебраїчна форма комплексного числа де уявна одиниця, така, що .