Диференціювання функції, заданої неявно.

Означення. Якщо кожному значенню змінної із області її завдання відповідає одне або декілька значень змінної , які задовольняють рівнянню

, (3)

то кажуть, що рівняння (3) неявно задає одну або декілька однозначних функцій від .

Приклад.

- неявно задані функції,

- явно задані функції.

Для знаходження похідної функції, яка задана неявно, треба про диференціювати рівняння (3) за правилом диференціювання складної функції, з урахуванням того, що є функцією від . Потім з одержаного співвідношення знайти похідну .

Приклади.

1. , , .

2. , , .

Похідна параметрично заданої функції.

Розглянемо функції

,

Нехай функція має обернену , тоді .

, або .

Приклад.

, , .

Диференціал функції.

Розглянемо похідну функції : можна довести, що , де - нескінченно мала при .

Тоді . (4)

Означення. Диференціалом функції називається головна частина приросту функції .

Рис. 3

З рис. 3 видно, що , тобто . З цього випливає, що диференціал функції, що відповідає конкретним значенням та , чисельно дорівнює приросту ординати дотичної до графіка функції в розглядуваній точці.

Диференціал функції застосовується при наближених обчисленнях. ,

,

.

Приклад. Обчислити .

, , , , , .

.

Похідні вищих порядків.

Розглянемо похідну функції

.

Знайдемо похідну функції

.

Означення. Похідною другого порядку називається похідна від похідної першого порядку.

Означення. Похідною го порядку називається похідна від похідної го порядку.

Приклад. .

,

,

.

Механічний зміст похідної 2-го порядку.

Якщо - шлях, пройдений точкою, що рухається прямолінійно, то

- швидкість,

- прискорення.

Застосування похідних.

Розглянемо функцію .

- приріст аргументу;

- приріст функції;

- відносний приріст аргументу;

- відносний приріст функції.

Тоді

, . (5)

Величина називається еластичністю функції відносно . Вона характеризує наближений процентний приріст функції (збільшення або зменшення), який відповідає приросту незалежної змінної на 1%.

Приклад. , .

Нехай . Тоді , .

Це означає, що якщо зросте від на 1%, то наближений приріст функції буде %. Практичний інтерес складають еластичності таких функцій

- попит на товар як функція ціни;

- попит на товар як функція прибутку покупців.

Б) Дотична та нормаль до кривої на площині.

Розглянемо криву, задану рівнянням (рис. 4)

Рис. 4

Рівняння прямої, що проходить через точку , з відомим кутовим коефіцієнтом має вигляд

. (6)

Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює

. (7)

Кутовий коефіцієнт нормалі до кривої в цій же точці

(8)

Після підстановки (7) і (8) в (6) одержимо:

• рівняння дотичної ;

• рівняння нормалі .

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої у точці з абсцисою .

, , ,

- рівняння дотичної;

- рівняння нормалі.