Похідна функції. Її механічний економічний та геометричний зміст.

Розглянемо рух точки по прямій (рис.1). Відомі координати точки як функції .

Рис.1

Необхідно знайти швидкість точки в момент :

,

.

Означення. Похідною функції називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу довільним чином прямує до нуля.

.

Позначається похідна: .

Механічний зміст. Похідною шляху як функції часу є швидкість точки, яка рухається прямолінійно.

Економічний зміст. Розглянемо функцію - витрати виробництва функція кількості продукції , яка випускається. Розглянемо - відношення приросту витрат до приросту кількості продукції (приріст витрат на одиницю приросту кількості продукції).

Границя .

Величину називають граничними витратами виробництва. Вона характеризує зміну витрат, тобто показує, на скільки змінюються витрати виробництва, якщо кількість продукції збільшиться (зменшиться) на одиницю.

Геометричний зміст.

. Похідна функції у деякій точці дорівнює р тангенсу кута, який утворює дотична до графіка цієї функції у розглядуваній точці з додатнім напрямком осі .

Якщо функція у точці має похідну, то кажуть, що дана функція диференційована у точці .

Приклади. (похідні деяких елементарних функцій):

1. , ,

,

, .

2. , ,

.

, .

3. , .

4. , .

Похідні суми, добутку, частки диференційованих функцій.

Теорема 1. Похідна суми деякого числа диференційованих функцій дорівнює сумі похідних цих функцій.

, .

Теорема 2. Похідна добутку двох диференційованих функцій визначається за формулою

.

Теорема 3. похідна частки двох диференційованих функцій визначається за формулою

, .

Приклади.

1. ,

,

, .

2. , .

Похідні функцій .

Обернена функція та її диференціювання.

Нехай функція є монотонною, наприклад, монотонно зростаючою, тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Є дві змінні величини та . Кожному значенню однієї змінної відповідає одне значення другої, і навпаки.

Одну з двох змінних, наприклад , називають другу - - називають функцією,

, (1)

або навпаки

. (2)

Функція (2) називається оберненою по відношенню до функції (1), і навпаки.

Приклад.

- обернена функція.

Запишемо тотожність

.

Функції і - неперервні. Значить при і .

Перейдемо до границі та одержимо

, .

Приклади. (рис. 2), .

, , ,

,

.

Рис. 2

, .

, .

, .

, .

, .

, .

Диференціювання складної функції.

Розглянемо функцію , де . Тоді , як відома, є складною функцією від .

Теорема. Нехай функція при деякому значенні має похідну . Функція при відповідному значенні також має похідну . Тоді похідна складної функції визначається за формулою:

,

у яку замість треба підставити вираз .

Приклад:

, .

, .